Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede: para cada uma das cinco integrais impróprias dadas, determinar se são convergentes ou divergentes (e, quando convergentes, calcular o valor). As integrais são:
Informações relevantes dadas: os intervalos de integração são semi-infinito/infinito e as funções envolvem exponenciais (com decaimento) e um produto de exponencial por polinômio ou por cosseno. A tarefa é estudar convergência (usando definição de integral imprópria como limite) e calcular o valor quando existir.
Passo 2
Conceito e ferramenta básica (aula rápida): uma integral imprópria sobre um intervalo infinito é definida como limite de integrais sobre intervalos finitos. Por exemplo,
Se esse limite existe (é finito) dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
Outra ideia útil: funções do tipo
com
decaem exponencialmente e normalmente produzem integrais convergentes sobre
. Para potências multiplicadas por exponenciais (como
) existe uma técnica padrão (integração por partes repetida ou a fórmula do tipo
) que mostra convergência e fornece valores exatos.
Agora aplicamos isso integral por integral, com passos e contas detalhadas.
Passo 3
Analisando
.
- Defino a integral imprópria como limite:
-
Calculo a primitiva de
. Uma primitiva é , porque . -
Avalio a integral definida em
:
- Tomo o limite quando
. Como , obtemos
Conclusão: a integral converge e seu valor é
.
Passo 4
Analisando
.
- Defino como limite:
- A primitiva de
é . Então
- Tomo o limite
. Como , obtemos
Conclusão: a integral converge e seu valor é
(onde
é a base dos logaritmos naturais).
Passo 5
Analisando
.
- Observação útil: escrevemos
em termos da exponencial natural para trabalhar mais facilmente. Seja (positivo). Então
- Defino a integral como limite:
- Calculo a primitiva de
. Como é constante,
pois
.
- Avalio em
:
- Faço
. Como , . Logo o limite é
- Substituo
e simplifico . Assim o valor da integral é
Conclusão: a integral converge e seu valor é
.
Passo 6
Analisando
.
- Novamente escrevemos
com . Assim precisamos avaliar
- Definição como limite:
-
Método: integração por partes repetida (aumenta o poder do polinômio diminui dele para obter uma integral que sai direta). Lembro a fórmula de partes:
. -
Faço a primeira integração por partes para
. Escolho (diferenciar reduz o grau) e (integrar é simples). Então e . Assim,
- Agora preciso calcular
. Faço por partes novamente: escolha , , então , . Assim
- Substituo esse resultado de volta na expressão do passo 4:
Simplifico:
- Agora avalio a integral definida de
a e depois tomo :
- Preciso ver os limites das parcelas nas extremidades. Para
e : termos do tipo polynomial tendem a zero porque domina (decai mais rápido que qualquer polinômio cresce). Logo o termo em tende a . Para , note que e e zera, então o valor em é
- Subtraindo
e fazendo (o termo em some), obtemos
- Finalmente, substituo
. Voltando à integral original com :
Conclusão: a integral converge e seu valor é
.
Passo 7
Analisando
.
Vou usar um truque simples e elegante com exponencial complexa (é padrão e rápido). Lembro que
é a parte real de
, isto é
. Então
- Considero a integral complexa
Como
, a exponencial complexa tem fator de decaimento
e a integral converge absolutamente.
- Calculo essa integral como integral usual de exponencial:
No infinito o termo anula por decaimento; em
temos
. Assim o resultado é
- A integral real que queremos é a parte real desse resultado:
- Simplifico
multiplicando numerador e denominador pelo conjugado :
A parte real é
.
Conclusão: a integral converge e seu valor é
.