Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente.
\int_{0}^{\infty} e^{-x} d x
\int_{-\infty}^{1} e^{x} d x
\int_{1}^{\infty} 2^{-x} d x
\int_{0}^{\infty} x^{2} 2^{-x} d x
\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das cinco integrais impróprias dadas, determinar se são convergentes ou divergentes (e, quando convergentes, calcular o valor). As integrais são:
\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx
\displaystyle \int_{-\infty}^{1} e^{x}\,dx
\displaystyle \int_{1}^{\infty} 2^{-x}\,dx
\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2} 2^{-x}\,dx
\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(x)\,dx
Informações relevantes dadas: os intervalos de integração são semi-infinito/infinito e as funções envolvem exponenciais (com decaimento) e um produto de exponencial por polinômio ou por cosseno. A tarefa é estudar convergência (usando definição de integral imprópria como limite) e calcular o valor quando existir.

Passo 2

Conceito e ferramenta básica (aula rápida): uma integral imprópria sobre um intervalo infinito é definida como limite de integrais sobre intervalos finitos. Por exemplo,
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\,dx.
Se esse limite existe (é finito) dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
Outra ideia útil: funções do tipo \displaystyle e^{-a x} com a>0 decaem exponencialmente e normalmente produzem integrais convergentes sobre [0,\infty). Para potências multiplicadas por exponenciais (como x^{n}e^{-ax}) existe uma técnica padrão (integração por partes repetida ou a fórmula do tipo \Gamma) que mostra convergência e fornece valores exatos.
Agora aplicamos isso integral por integral, com passos e contas detalhadas.

Passo 3

Analisando \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.
  1. Defino a integral imprópria como limite:
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} e^{-x}\,dx.
  1. Calculo a primitiva de e^{-x}. Uma primitiva é -e^{-x}, porque \dfrac{d}{dx}(-e^{-x})=e^{-x}.
  2. Avalio a integral definida em [0,R]:
\int_{0}^{R} e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{R} = -e^{-R} - (-e^{0}) = 1 - e^{-R}.
  1. Tomo o limite quando R\to\infty. Como \displaystyle \lim_{R\to\infty} e^{-R}=0, obtemos
\lim_{R\to\infty} (1 - e^{-R}) = 1.
Conclusão: a integral converge e seu valor é 1.

Passo 4

Analisando \displaystyle \int_{-\infty}^{1} e^{x}\,dx.
  1. Defino como limite:
\int_{-\infty}^{1} e^{x}\,dx=\lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{1} e^{x}\,dx.
  1. A primitiva de e^{x} é e^{x}. Então
\int_{A}^{1} e^{x}\,dx = \left[e^{x}\right]_{A}^{1} = e^{1} - e^{A}.
  1. Tomo o limite A\to -\infty. Como \displaystyle \lim_{A\to -\infty} e^{A}=0, obtemos
\lim_{A\to -\infty} (e - e^{A}) = e.
Conclusão: a integral converge e seu valor é e (onde e é a base dos logaritmos naturais).

Passo 5

Analisando \displaystyle \int_{1}^{\infty} 2^{-x}\,dx.
  1. Observação útil: escrevemos 2^{-x} em termos da exponencial natural para trabalhar mais facilmente. Seja a=\ln 2 (positivo). Então
2^{-x}=e^{-x\ln 2}=e^{-a x}.
  1. Defino a integral como limite:
\int_{1}^{\infty} 2^{-x}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R} e^{-a x}\,dx.
  1. Calculo a primitiva de e^{-a x}. Como a é constante,
\int e^{-a x}\,dx = -\frac{1}{a} e^{-a x} + C,
pois \dfrac{d}{dx}\big(-\frac{1}{a}e^{-a x}\big)=e^{-a x}.
  1. Avalio em [1,R]:
\int_{1}^{R} e^{-a x}\,dx = \left[-\frac{1}{a} e^{-a x}\right]_{1}^{R} = -\frac{1}{a}e^{-aR} + \frac{1}{a}e^{-a}.
  1. Faço R\to\infty. Como a>0, \displaystyle e^{-aR}\to 0. Logo o limite é
\frac{1}{a} e^{-a}.
  1. Substituo a=\ln 2 e simplifico e^{-a}=e^{-\ln 2}=1/2. Assim o valor da integral é
\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2\ln 2}.
Conclusão: a integral converge e seu valor é \dfrac{1}{2\ln 2}.

Passo 6

Analisando \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2} 2^{-x}\,dx.
  1. Novamente escrevemos 2^{-x}=e^{-a x} com a=\ln 2>0. Assim precisamos avaliar
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx.
  1. Definição como limite:
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} x^{2} e^{-a x}\,dx.
  1. Método: integração por partes repetida (aumenta o poder do polinômio diminui dele para obter uma integral que sai direta). Lembro a fórmula de partes: \displaystyle \int u\,dv = u v - \int v\,du.
  2. Faço a primeira integração por partes para \int x^{2} e^{-a x}\,dx. Escolho u=x^{2} (diferenciar reduz o grau) e dv=e^{-a x}dx (integrar é simples). Então du=2x\,dx e v=-\dfrac{1}{a}e^{-a x}. Assim,
\int x^{2} e^{-a x}\,dx = -\frac{x^{2}}{a} e^{-a x} + \frac{2}{a}\int x e^{-a x}\,dx.
  1. Agora preciso calcular \int x e^{-a x}\,dx. Faço por partes novamente: escolha u=x, dv=e^{-a x}dx, então du=dx, v=-\dfrac{1}{a}e^{-a x}. Assim
\int x e^{-a x}\,dx = -\frac{x}{a} e^{-a x} + \frac{1}{a}\int e^{-a x}\,dx = -\frac{x}{a} e^{-a x} -\frac{1}{a^{2}} e^{-a x} + C.
  1. Substituo esse resultado de volta na expressão do passo 4:
\int x^{2} e^{-a x}\,dx = -\frac{x^{2}}{a} e^{-a x} + \frac{2}{a}\left(-\frac{x}{a} e^{-a x} -\frac{1}{a^{2}} e^{-a x}\right) + C.
Simplifico:
\int x^{2} e^{-a x}\,dx = -\frac{x^{2}}{a} e^{-a x} -\frac{2x}{a^{2}} e^{-a x} -\frac{2}{a^{3}} e^{-a x} + C.
  1. Agora avalio a integral definida de 0 a R e depois tomo R\to\infty:
\int_{0}^{R} x^{2} e^{-a x}\,dx = \left[-\frac{e^{-a x}}{a}\left(x^{2} + \frac{2x}{a} + \frac{2}{a^{2}}\right)\right]_{0}^{R}.
  1. Preciso ver os limites das parcelas nas extremidades. Para x=R e R\to\infty: termos do tipo polynomial \times e^{-aR} tendem a zero porque e^{-aR} domina (decai mais rápido que qualquer polinômio cresce). Logo o termo em R tende a 0. Para x=0, note que e^{-a\cdot 0}=1 e x^{2} e x zera, então o valor em 0 é
-\frac{1}{a}\left(0 + 0 + \frac{2}{a^{2}}\right) = -\frac{2}{a^{3}}.
  1. Subtraindo \text{(valor em }R) - \text{(valor em }0) e fazendo R\to\infty (o termo em R some), obtemos
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx = 0 - \left(-\frac{2}{a^{3}}\right) = \frac{2}{a^{3}}.
  1. Finalmente, substituo a=\ln 2. Voltando à integral original com 2^{-x}:
\int_{0}^{\infty} x^{2} 2^{-x}\,dx = \frac{2}{(\ln 2)^{3}}.
Conclusão: a integral converge e seu valor é \dfrac{2}{(\ln 2)^{3}}.

Passo 7

Analisando \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(x)\,dx.
Vou usar um truque simples e elegante com exponencial complexa (é padrão e rápido). Lembro que \cos x é a parte real de e^{ix}, isto é \cos x=\Re(e^{ix}). Então
e^{-x}\cos x = \Re\big(e^{-x}e^{ix}\big)=\Re\big(e^{-(1-i)x}\big).
  1. Considero a integral complexa
\int_{0}^{\infty} e^{-(1-i)x}\,dx.
Como \Re(1-i)=1>0, a exponencial complexa tem fator de decaimento e^{-x} e a integral converge absolutamente.
  1. Calculo essa integral como integral usual de exponencial:
\int_{0}^{\infty} e^{-(1-i)x}\,dx = \left[-\frac{1}{1-i} e^{-(1-i)x}\right]_{0}^{\infty}.
No infinito o termo anula por decaimento; em 0 temos e^{0}=1. Assim o resultado é
\frac{1}{1-i}.
  1. A integral real que queremos é a parte real desse resultado:
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x\,dx = \Re\!\left(\frac{1}{1-i}\right).
  1. Simplifico \dfrac{1}{1-i} multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 1+i:
\frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1+1} = \frac{1+i}{2}.
A parte real é \dfrac{1}{2}.
Conclusão: a integral converge e seu valor é \dfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = 1 (convergente)
\displaystyle \int_{-\infty}^{1} e^{x}\,dx = e (convergente)
\displaystyle \int_{1}^{\infty} 2^{-x}\,dx = \dfrac{1}{2\ln 2} (convergente)
\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2} 2^{-x}\,dx = \dfrac{2}{(\ln 2)^{3}} (convergente)
\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(x)\,dx = \dfrac{1}{2} (convergente)

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