Seja \alpha>0. A função
f(t)=\left\{\begin{array}{rll} \alpha \cdot e^{\alpha x}, & \text { se } & x \geq 0 \\\\ 0, & \text { se } & x<0 \end{array}\right.
é de densidade de probabilidade? Qual a probabilidade de termos x \in(0,1) ?

Passo 1

O enunciado dá \alpha>0\) e a função (vou escrever em termos de \(x\)): \[f(x)=\begin{cases} \alpha\,e^{\alpha x}, & x\ge 0,\\[4pt] 0, & x<0. \end{cases}
Perguntas que precisamos responder:
  1. Essa função é uma densidade de probabilidade?
  2. Qual é a probabilidade de (x\in(0,1)]?]

Passo 2

Lembrete importante (a “aula rápida”): para que uma função f seja densidade de probabilidade ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x.
  2. Normalização: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou verificar essas duas propriedades passo a passo.

Passo 3

Verificando não-negatividade.
Para x<0 temos f(x)=0. Para x\ge 0 temos f(x)=\alpha\,e^{\alpha x}. Como \alpha>0 e e^{\alpha x}>0 para todo x, segue que \alpha\,e^{\alpha x}>0. Portanto \,f(x)\ge 0 para todo x. A primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Verificando normalização (a parte mais importante). Calculamos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} \alpha\,e^{\alpha x}\,dx,
porque f(x)=0 para x<0. Para integrar, uso que uma primitiva de e^{\alpha x} é \dfrac{1}{\alpha}e^{\alpha x}. Como há um fator \alpha multiplicando, a primitiva de \alpha e^{\alpha x} é simplesmente e^{\alpha x}. Assim
\int_{0}^{b} \alpha\,e^{\alpha x}\,dx = \big[ e^{\alpha x}\big]_{0}^{b} = e^{\alpha b}-e^{0} = e^{\alpha b}-1.
Agora tomo o limite b\to\infty. Como \alpha>0, e^{\alpha b}\to\infty quando b\to\infty. Logo
\int_{0}^{\infty} \alpha\,e^{\alpha x}\,dx = \lim_{b\to\infty} (e^{\alpha b}-1)=\infty.

Passo 5

Conclusão sobre ser densidade: a integral total diverge para infinito, ou seja
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \infty \neq 1.
Portanto a função não satisfaz a condição de normalização e, apesar de ser não-negativa, não é uma densidade de probabilidade.

Passo 6

Mesmo assim podemos calcular a integral sobre o intervalo (0,1) (mas atenção: esse valor não será uma “probabilidade” no sentido usual porque f não é normalizada). Calculo
\int_{0}^{1} \alpha\,e^{\alpha x}\,dx = \big[ e^{\alpha x}\big]_{0}^{1} = e^{\alpha}-1.
Mostrei antes que a primitiva de \alpha e^{\alpha x} é e^{\alpha x}, por isso o resultado direto.

Passo 7

Interpretação e dica para a prova: o valor \int_{0}^{1}\alpha e^{\alpha x}\,dx = e^{\alpha}-1 é apenas um número (maior que 0); não pode ser interpretado como probabilidade porque a massa total é infinita. Se, porém, o enunciado tivesse \alpha e^{-\alpha x} (o sinal negativo no expoente), aí sim teríamos uma densidade exponencial clássica e a probabilidade em (0,1) seria 1-e^{-\alpha}. Fica a alternativa mental para checar erros de enunciado na prova.

Resposta

Não; a função não é densidade de probabilidade (pois \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\infty).
\displaystyle \int_{0}^{1} \alpha\,e^{\alpha x}\,dx = e^{\alpha}-1 (este valor não é uma probabilidade porque f não está normalizada).

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