f(t)=\left\{\begin{array}{rll} \alpha \cdot e^{\alpha x}, & \text { se } & x \geq 0 \\\\ 0, & \text { se } & x<0 \end{array}\right.
é de densidade de probabilidade? Qual a probabilidade de termos x \in(0,1) ?
Passo 1
O enunciado dá \alpha>0\) e a função (vou escrever em termos de \(x\)):
\[f(x)=\begin{cases} \alpha\,e^{\alpha x}, & x\ge 0,\\[4pt] 0, & x<0. \end{cases}
Perguntas que precisamos responder:
Essa função é uma densidade de probabilidade?
Qual é a probabilidade de (x\in(0,1)]?]
Passo 2
Lembrete importante (a “aula rápida”): para que uma função f seja densidade de probabilidade ela precisa satisfazer duas condições:
Vou verificar essas duas propriedades passo a passo.
Passo 3
Verificando não-negatividade.
Para x<0 temos f(x)=0. Para x\ge 0 temos f(x)=\alpha\,e^{\alpha x}. Como \alpha>0 e e^{\alpha x}>0 para todo x, segue que \alpha\,e^{\alpha x}>0. Portanto \,f(x)\ge 0 para todo x. A primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Verificando normalização (a parte mais importante). Calculamos
porque f(x)=0 para x<0. Para integrar, uso que uma primitiva de e^{\alpha x} é \dfrac{1}{\alpha}e^{\alpha x}. Como há um fator \alpha multiplicando, a primitiva de \alpha e^{\alpha x} é simplesmente e^{\alpha x}. Assim
Conclusão sobre ser densidade: a integral total diverge para infinito, ou seja
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \infty \neq 1.
Portanto a função não satisfaz a condição de normalização e, apesar de ser não-negativa, não é uma densidade de probabilidade.
Passo 6
Mesmo assim podemos calcular a integral sobre o intervalo (0,1) (mas atenção: esse valor não será uma “probabilidade” no sentido usual porque f não é normalizada). Calculo
Mostrei antes que a primitiva de \alpha e^{\alpha x} é e^{\alpha x}, por isso o resultado direto.
Passo 7
Interpretação e dica para a prova: o valor \int_{0}^{1}\alpha e^{\alpha x}\,dx = e^{\alpha}-1 é apenas um número (maior que 0); não pode ser interpretado como probabilidade porque a massa total é infinita. Se, porém, o enunciado tivesse \alpha e^{-\alpha x} (o sinal negativo no expoente), aí sim teríamos uma densidade exponencial clássica e a probabilidade em (0,1) seria 1-e^{-\alpha}. Fica a alternativa mental para checar erros de enunciado na prova.
Resposta
Não; a função não é densidade de probabilidade (pois \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\infty). \displaystyle \int_{0}^{1} \alpha\,e^{\alpha x}\,dx = e^{\alpha}-1 (este valor não é uma probabilidade porque f não está normalizada).