a) Utilize a série de potências da função , para determinar uma representação em série de potências para , encontrando o raio de convergência: c) Mostre que .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
– (a) usar a série de potências da função
para obter uma representação em série de potências de
e determinar o raio de convergência.
– (c) mostrar que
Para (c) vamos usar a técnica de integrar termo a termo a série geométrica.
Passo 2
Queremos escrever
de forma semelhante a . Observe que
Aplicando a expansão de com , obtemos
A condição de convergência equivale a
|t|<4,
portanto o raio de convergência é R=4.
Passo 3
Para mostrar que sumn=1^inftytfrac1n,2^n=ln2, lembre que, para |x|<1, integrais termo a termo dão