a) Utilize a série de potências da função h(x)=11-x,|x|<1, para determinar uma representação em série de potências para g(t)=44+t, encontrando o raio de convergência: c) Mostre que sumn=1^infty 1n 2^n=ln 2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– (a) usar a série de potências da função
h(x)=11-x=sumn=0^inftyx^n, |x|<1,
para obter uma representação em série de potências de
g(t)=44+t,
e determinar o raio de convergência.
– (c) mostrar que
sumn=1^infty1n,2^n=ln2
Para (c) vamos usar a técnica de integrar termo a termo a série geométrica.

Passo 2

Queremos escrever
g(t)=44+t
de forma semelhante a 11-x. Observe que
44+t =11 + tfract4 =11 - l(-tfract4r)
Aplicando a expansão de h(x) com x=-tfract4, obtemos
g(t) =sumn=0^inftyl(-tfract4r)^n =sumn=0^infty(-1)^n,t^n4^n
A condição de convergência l|-tfract4r|<1 equivale a
|t|<4,
portanto o raio de convergência é R=4.

Passo 3

Para mostrar que
sumn=1^inftytfrac1n,2^n=ln2, lembre que, para |x|<1, integrais termo a termo dão
integral0^x11-u,du =integral0^xsumn=0^inftyu^ndu =sumn=0^inftyintegral0^xu^ndu =sumn=0^inftyx^n+1n+1
O lado esquerdo é -ln(1-x). Logo, reindexando n+1to n,
-ln(1-x) =sumn=1^inftyx^nn
Bast a escolher x=tfrac12:
sumn=1^infty1n,2^n =-lnl(1-tfrac12r) =-lnl(tfrac12r) =ln2

Resposta

(a)
g(t)=44+t =sumn=0^infty(-1)^n,t^n4^n, com raio de convergência R=4 ê
(c)
sumn=1^infty1n,2^n=ln2

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