Sendo X(omega) a transformada de Fourier de x(t), exprima em função de X(omega) as transformadas dos seguintes sinais:
x4(t)=2 d^2 x(t)d t^2+3 d x(t)d t-5 x(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
x4(t)=2,d^2x(t)dt^2+3,dx(t)dt-5,x(t),
sabendo que X(omega) é a transformada de Fourier de x(t). Vamos usar a linearidade da transformada e a propriedade de diferenciação no domínio do tempo.

Passo 2

A propriedade de diferenciação afirma que, para a definição
X(omega)=integral-infty^inftyx(t),e^-jomega t,dt,
valem as fórmulas
Fldx(t)dtr=jomega,X(omega), Fld^2x(t)dt^2r=(jomega)^2,X(omega)

Passo 3

Aplicando a linearidade e a propriedade acima aos três termos de x4(t), obtemos:
F2,x''(t) =2,(jomega)^2,X(omega),
F3,x'(t) =3,(jomega),X(omega),
F-5,x(t) =-5,X(omega)

Passo 4

Somando as três contribuições, a transformada de x4(t), que chamamos de X4(omega), é
X4(omega) =l[2,(jomega)^2+3,(jomega)-5r],X(omega)
Podemos também escrever
X4(omega) =l[-2,omega^2+3,jomega-5r],X(omega)

Resposta

X4(omega) =l[2,(jomega)^2+3,(jomega)-5r],X(omega) ;=;l[-2,omega^2+3,jomega-5r],X(omega)

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