Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{v} \times \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{v}=(-1,1,-1),\qquad \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right)
e pede para calcular
\vec{v}\times\vec{w}.
Informações relevantes: os componentes de \vec{v} são v_1=-1, v_2=1, v_3=-1; os componentes de \vec{w} são w_1=-2, w_2=-\tfrac{1}{2}, w_3=5.

Passo 2

Fórmula prática para o produto vetorial (cross product) de dois vetores em \mathbb{R}^3: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Explicando cada parte: a primeira componente é a diferença entre o produto do segundo componente de \vec{a} pelo terceiro de \vec{b} e o produto do terceiro de \vec{a} pelo segundo de \vec{b}. As outras componentes seguem padrão semelhante, lembrando que a ordem importa (produto vetorial não é comutativo).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso \vec{v}\times\vec{w}, com v_1=-1, v_2=1, v_3=-1 e w_1=-2, w_2=-\tfrac{1}{2}, w_3=5, temos:
\vec{v}\times\vec{w}=\bigl(v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1\bigr).

Passo 4

Calculando a primeira componente:
v_2w_3-v_3w_2 = 1\cdot 5 - (-1)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right).
Agora os passos aritméticos: -1\cdot(-\tfrac{1}{2})=+\tfrac{1}{2}. Logo
1\cdot 5 - \tfrac{1}{2} = 5 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{10}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{9}{2}.

Passo 5

Calculando a segunda componente:
v_3w_1-v_1w_3 = (-1)\cdot(-2) - (-1)\cdot 5.
Aritmética: (-1)\cdot(-2)=2 e (-1)\cdot 5=-5. Então
2 - (-5) = 2 + 5 = 7.

Passo 6

Calculando a terceira componente:
v_1w_2-v_2w_1 = (-1)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) - 1\cdot(-2).
Aritmética: (-1)\cdot(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2} e 1\cdot(-2)=-2. Assim
\tfrac{1}{2} - (-2) = \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{4}{2} = \tfrac{5}{2}.

Passo 7

Juntando as componentes obtidas, o produto vetorial é
\vec{v}\times\vec{w}=\left(\tfrac{9}{2},\,7,\,\tfrac{5}{2}\right).
Como verificação rápida (útil na prova): um produto vetorial deve ser ortogonal aos dois vetores. Checando o produto escalar com \vec{v}:
\left(\tfrac{9}{2}\right)(-1)+7(1)+\left(\tfrac{5}{2}\right)(-1)=-\tfrac{9}{2}+7-\tfrac{5}{2}=0.
E com \vec{w}:
\left(\tfrac{9}{2}\right)(-2)+7\left(-\tfrac{1}{2}\right)+\left(\tfrac{5}{2}\right)5=-9-\tfrac{7}{2}+\tfrac{25}{2}=0.
Ambas iguais a zero, confirmando que o resultado está coerente.

Resposta

\vec{v}\times\vec{w}=\left(\tfrac{9}{2},7,\tfrac{5}{2}\right)

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