O cosseno do ângulo entre os vetores \vec{u}=(-2,-2,-1) e \vec{v}=(4,4,2) é:

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo entre os vetores \vec{u}=(-2,-2,-1) e \vec{v}=(4,4,2).
Informações dadas: as componentes de \vec{u} são (-2,-2,-1) e as componentes de \vec{v} são (4,4,2).
Objetivo: calcular \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Vamos usar a fórmula padrão que relaciona produto escalar e cosseno do ângulo entre vetores:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}
Explicando cada parte:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar, definido para vetores em \mathbb{R}^3 por \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3. Aqui u_i e v_i são as componentes dos vetores.
  • \|\vec{u}\| é a norma (comprimento) de \vec{u}, definida por \|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
    Essa fórmula é muito usada na prova: ela dá o cosseno diretamente a partir de operações aritméticas simples (somar, multiplicar, raiz).

Passo 3

Calculo do produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} aplicando a definição:
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-2)\cdot 4 + (-2)\cdot 4 + (-1)\cdot 2.
Agora faço cada multiplicação:
(-2)\cdot 4 = -8,\quad (-2)\cdot 4 = -8,\quad (-1)\cdot 2 = -2.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v} = -8 + (-8) + (-2) = -18.

Passo 4

Calculo das normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|.
Para \vec{u}=(-2,-2,-1):
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
Para \vec{v}=(4,4,2):
\|\vec{v}\|=\sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do cosseno com os valores encontrados:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\frac{-18}{3\cdot 6}=\frac{-18}{18}=-1.
Portanto o cosseno é -1.

Passo 6

Interpretação e observação útil para a prova: quando \cos\theta=-1 isso significa \theta=\pi radianos (ou 180^\circ), ou seja, os vetores são opostos. Podemos ver isso também notando que \vec{v}=-2\vec{u}, porque
-2\cdot(-2,-2,-1)=(4,4,2)=\vec{v},
ou seja, \vec{v} é um múltiplo negativo de \vec{u}, então eles apontam em direções exatamente opostas.

Resposta

-1

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