O cosseno do ângulo entre os vetores
e
é:
Passo 1
O enunciado pede o cosseno do ângulo entre os vetores
e
.
Informações dadas: as componentes de são
e as componentes de
são
.
Objetivo: calcular , onde
é o ângulo entre
e
.
Informações dadas: as componentes de
Objetivo: calcular
Passo 2
Vamos usar a fórmula padrão que relaciona produto escalar e cosseno do ângulo entre vetores:
Explicando cada parte:
-
é o produto escalar, definido para vetores em por . Aqui e são as componentes dos vetores. -
é a norma (comprimento) de , definida por .
Essa fórmula é muito usada na prova: ela dá o cosseno diretamente a partir de operações aritméticas simples (somar, multiplicar, raiz).
Passo 3
Calculo do produto escalar
aplicando a definição:
Agora faço cada multiplicação:
Somando:
Passo 4
Calculo das normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora aplico a fórmula do cosseno com os valores encontrados:
Portanto o cosseno é
.
Passo 6
Interpretação e observação útil para a prova: quando
isso significa
radianos (ou
), ou seja, os vetores são opostos. Podemos ver isso também notando que
, porque
ou seja,
é um múltiplo negativo de
, então eles apontam em direções exatamente opostas.