Sendo
a região limitada pelas retas
, calcule a integral dupla
.
Passo 1
O enunciado pede
onde
é o triângulo limitado por
,
e
. Como o integrando e a região sugerem simetria circular, vamos usar coordenadas polares
, em que
e determinar os limites apropriados para
e
.
Passo 2
Em polares a curva
vira
, a reta
vira
e
é
, isto é
. Logo
Para o integral em
, faça
,
. Então
Note que
Assim o integral vira
Passo 3
Separe em dois termos:
Para
I , use
u=sintheta ,
du=costheta,dtheta , e note que
1+cos^2theta=2-u^2 . Então
Logo o valor final é