Sendo D a região limitada pelas retas y=x, y=0, x=1, calcule a integral dupla integral duplaD d x d y(1+x^2+y^2)^32.

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaDdx,dyl(1+x^2+y^2r)^3/2
onde D é o triângulo limitado por y=0, y=x e x=1. Como o integrando e a região sugerem simetria circular, vamos usar coordenadas polares (r,theta), em que
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta,
e determinar os limites apropriados para r e theta.

Passo 2

Em polares a curva y=0 vira theta=0, a reta y=x vira theta=pi/4 e x=1 é rcostheta=1, isto é r=1/costheta. Logo
integral duplaDdx,dy(1+x^2+y^2)^3/2 =integraltheta=0^pi/4integralr=0^1/costheta rl(1+r^2r)^3/2,dr,dtheta
Para o integral em r, faça u=1+r^2, du=2r,dr. Então
integral0^1/costhetar(1+r^2)^3/2,dr =integralu=1^1+1/cos^2theta12u^-3/2,du =l[-u^-1/2r]1^1+sec^2theta =1-1raiz1+sec^2theta
Note que
1+sec^2theta=1+cos^2thetacos^2theta Longrightarrow 1raiz1+sec^2theta =costhetaraiz1+cos^2theta
Assim o integral vira
integral0^pi/4l[1-costhetaraiz1+cos^2thetar],dtheta

Passo 3

Separe em dois termos:
integral0^pi/41,dtheta -integral0^pi/4costhetaraiz1+cos^2theta,dtheta =pi4 -underbraceintegral0^pi/4costhetaraiz1+cos^2theta,dthetaI
Para I, use u=sintheta, du=costheta,dtheta, e note que 1+cos^2theta=2-u^2. Então
I=integralu=0^u=raiz22duraiz2-u^2 =l[arcsin!l(u/raiz2r)r]0^raiz22 =arcsin!l(tfrac12r)-0 =pi6
Logo o valor final é
pi4-pi6 =3pi-2pi12 =pi12

Resposta

pi12

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