Sendo
coordenadas cilíndricas, descrever os seguintes lugares e escrever a equação de cada um em coordenadas retangulares:
;
Passo 1
O enunciado dá dois lugares em coordenadas cilíndricas:
e
.
Pede que eu:
Pede que eu:
- descreva geometricamente cada um desses lugares;
- escreva a equação correspondente de cada um em coordenadas retangulares (cartesianas).
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado: as coordenadas usadas são(coordenadas cilíndricas) e os dois condicionamentos são e .
Passo 2
Primeiro, lembrar como se relacionam as coordenadas cilíndricas com as retangulares. Vou explicar passo a passo porque isso é fundamental para fazer a troca de variáveis sem erro.
Definições/relações básicas (essas são fórmulas que você deve decorar e saber usar; eu explico de onde vêm):
Explicação curta: em coordenadas cilíndricas
é a distância do ponto ao eixo
(ou seja, a distância no plano
até a origem), e
é o ângulo que o raio projetado no plano
faz com o eixo
. Assim, projetando no plano
temos um triângulo retângulo com catetos
e
e hipotenusa
, daí
e
.
Uma fórmula muito útil que derivamos dessas duas é:
obtida somando
e
e usando
.
Essa fórmula permite eliminar e obter equações em
.
Essa fórmula permite eliminar
Passo 3
Agora converto o primeiro lugar
para coordenadas retangulares.
Parto da relação
. Elevando ambos os lados de
ao quadrado (ou substituindo
diretamente), obtenho:
Usando
segue
Interpretação geométrica: essa equação em
representa um cilindro circular reto de raio
cujo eixo é o eixo
. Ou seja, para qualquer valor de
(positivo, negativo ou zero) a interseção com o plano horizontal
constante é um círculo de raio
centrado na origem
. Portanto
é o cilindro de raio
em torno do eixo
.
Exemplo concreto para fixar: o ponto
está nesse cilindro porque
; o ponto
não está porque
.
Passo 4
Agora converto o segundo lugar
para coordenadas retangulares.
Em coordenadas cilíndricas a coordenada
é exatamente a coordenada vertical Cartesian
. Portanto a equação já está em termos retangulares:
Interpretação geométrica:
é o plano
(plano horizontal que contém a origem). É o conjunto de todos os pontos com altura zero.
Exemplo concreto:
pertence a
, enquanto
não.
Passo 5
Observação adicional (útil para a prova): se você considerar os dois lugares ao mesmo tempo, isto é, a interseção de
com
, você obtém a curva
que é o círculo de raio
no plano
. Isso às vezes aparece como pergunta extra: “qual é a interseção?” — agora você já sabe.