Sendo \rho, \varphi, z coordenadas cilíndricas, descrever os seguintes lugares e escrever a equação de cada um em coordenadas retangulares:
\rho=4, z=0;

Passo 1

O enunciado dá dois lugares em coordenadas cilíndricas: \rho=4 e z=0.
Pede que eu:
  • descreva geometricamente cada um desses lugares;
  • escreva a equação correspondente de cada um em coordenadas retangulares (cartesianas).
    Informações explícitas fornecidas pelo enunciado: as coordenadas usadas são (\rho,\varphi,z) (coordenadas cilíndricas) e os dois condicionamentos são \rho=4 e z=0.

Passo 2

Primeiro, lembrar como se relacionam as coordenadas cilíndricas com as retangulares. Vou explicar passo a passo porque isso é fundamental para fazer a troca de variáveis sem erro.
Definições/relações básicas (essas são fórmulas que você deve decorar e saber usar; eu explico de onde vêm):
x=\rho\cos\varphi,
y=\rho\sin\varphi,
z=z.
Explicação curta: em coordenadas cilíndricas \rho é a distância do ponto ao eixo z (ou seja, a distância no plano xy até a origem), e \varphi é o ângulo que o raio projetado no plano xy faz com o eixo x. Assim, projetando no plano xy temos um triângulo retângulo com catetos x e y e hipotenusa \rho, daí x=\rho\cos\varphi e y=\rho\sin\varphi.
Uma fórmula muito útil que derivamos dessas duas é:
\rho^{2}=x^{2}+y^{2},
obtida somando x^{2}=(\rho\cos\varphi)^{2} e y^{2}=(\rho\sin\varphi)^{2} e usando \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1.
Essa fórmula permite eliminar \rho e obter equações em x,y.

Passo 3

Agora converto o primeiro lugar \rho=4 para coordenadas retangulares.
Parto da relação \rho^{2}=x^{2}+y^{2}. Elevando ambos os lados de \rho=4 ao quadrado (ou substituindo \rho^{2} diretamente), obtenho:
\rho=4 \quad\Longrightarrow\quad \rho^{2}=16.
Usando \rho^{2}=x^{2}+y^{2} segue
x^{2}+y^{2}=16.
Interpretação geométrica: essa equação em x,y,z representa um cilindro circular reto de raio 4 cujo eixo é o eixo z. Ou seja, para qualquer valor de z (positivo, negativo ou zero) a interseção com o plano horizontal z= constante é um círculo de raio 4 centrado na origem (0,0). Portanto \rho=4 é o cilindro de raio 4 em torno do eixo z.
Exemplo concreto para fixar: o ponto (x,y,z)=(4,0,2) está nesse cilindro porque 4^{2}+0^{2}=16; o ponto (3,3,0) não está porque 3^{2}+3^{2}=18\neq16.

Passo 4

Agora converto o segundo lugar z=0 para coordenadas retangulares.
Em coordenadas cilíndricas a coordenada z é exatamente a coordenada vertical Cartesian z. Portanto a equação já está em termos retangulares:
z=0.
Interpretação geométrica: \,z=0 é o plano xy (plano horizontal que contém a origem). É o conjunto de todos os pontos com altura zero.
Exemplo concreto: (1,2,0) pertence a z=0, enquanto (1,2,1) não.

Passo 5

Observação adicional (útil para a prova): se você considerar os dois lugares ao mesmo tempo, isto é, a interseção de \rho=4 com z=0, você obtém a curva
x^{2}+y^{2}=16,\quad z=0,
que é o círculo de raio 4 no plano xy. Isso às vezes aparece como pergunta extra: “qual é a interseção?” — agora você já sabe.

Resposta

x^{2}+y^{2}=16 (cilindro circular reto de raio 4 em torno do eixo z).
z=0 (plano xy).

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