Sendo
coordenadas cilíndricas, descrever os seguintes lugares e escrever a equação de cada um em coordenadas retangulares:
;
Passo 1
O enunciado dá a condição em coordenadas cilíndricas
e pede: descrever geometricamente esse lugar e escrever a equação correspondente em coordenadas retangulares. As informações relevantes que temos são: as coordenadas cilíndricas são
com
,
ângulo no plano
e
; a condição dada é
.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas de conversão entre coordenadas cilíndricas e retangulares (essas são essenciais e sempre use no exame):
Aqui
é a distância do ponto ao eixo
(ou seja,
),
é o ângulo que o raio-projeção no plano
faz com o eixo
positivo (medido no sentido anti-horário), e
é a mesma coordenada
de antes.
Passo 3
Substituímos
nas fórmulas de conversão. Como
e
, obtemos:
e
permanece livre.
Passo 4
Da igualdade
e da condição
segue que
. Assim, em coordenadas retangulares os pontos satisfazendo
obedecem
Geometricamente, isso é o semiplano vertical formado pela metade do plano
onde
é não-negativo — ou seja, o "semiplano
voltado para
", que se estende em
.
Passo 5
Observação importante para prova: o eixo
(pontos com
, isto é
) tem ângulo
indefinido; portanto, estritamente falando, os pontos com
não têm representação única em
. Em exercícios normalmente não se exige essa sutileza, mas saiba que o semiplano descrito tem como fronteira o próprio eixo
(que pode ser considerado ponto-limite quando
).
Exemplos rápidos para fixar: o ponto retangular corresponde a
e pertence ao lugar; o ponto
não pertence, pois tem
(corresponde a
).
Exemplos rápidos para fixar: o ponto retangular