Sendo \rho, \varphi, z coordenadas cilíndricas, descrever os seguintes lugares e escrever a equação de cada um em coordenadas retangulares:
\varphi=\pi / 2;

Passo 1

O enunciado dá a condição em coordenadas cilíndricas \varphi=\pi/2 e pede: descrever geometricamente esse lugar e escrever a equação correspondente em coordenadas retangulares. As informações relevantes que temos são: as coordenadas cilíndricas são (\rho,\varphi,z) com \rho\ge 0, \varphi ângulo no plano xy e z\in\mathbb{R}; a condição dada é \varphi=\pi/2.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas de conversão entre coordenadas cilíndricas e retangulares (essas são essenciais e sempre use no exame):
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
Aqui \rho é a distância do ponto ao eixo z (ou seja, \rho=\sqrt{x^2+y^2}), \varphi é o ângulo que o raio-projeção no plano xy faz com o eixo x positivo (medido no sentido anti-horário), e z é a mesma coordenada z de antes.

Passo 3

Substituímos \varphi=\pi/2 nas fórmulas de conversão. Como \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1, obtemos:
x=\rho\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=\rho\cdot 0=0,
y=\rho\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\rho\cdot 1=\rho,
e z=z permanece livre.

Passo 4

Da igualdade y=\rho e da condição \rho\ge 0 segue que y\ge 0. Assim, em coordenadas retangulares os pontos satisfazendo \varphi=\pi/2 obedecem
x=0,\qquad y\ge 0,\qquad z\in\mathbb{R}.
Geometricamente, isso é o semiplano vertical formado pela metade do plano x=0 onde y é não-negativo — ou seja, o "semiplano x=0 voltado para y\ge 0", que se estende em z.

Passo 5

Observação importante para prova: o eixo z (pontos com \rho=0, isto é x=y=0) tem ângulo \varphi indefinido; portanto, estritamente falando, os pontos com \rho=0 não têm representação única em \varphi. Em exercícios normalmente não se exige essa sutileza, mas saiba que o semiplano descrito tem como fronteira o próprio eixo z (que pode ser considerado ponto-limite quando \rho\to 0).
Exemplos rápidos para fixar: o ponto retangular (0,2,1) corresponde a (\rho,\varphi,z)=(2,\pi/2,1) e pertence ao lugar; o ponto (0,-1,0) não pertence, pois tem y<0 (corresponde a \varphi=3\pi/2).

Resposta

\;x=0,\; y\ge 0,\; z\in\mathbb{R}

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