Exprimir em coordenadas esféricas os seguintes lugares geométricos:
o plano z=0;

Passo 1

O enunciado pede: expressar, em coordenadas esféricas, o lugar geométrico definido pelo plano z=0.
Informações dadas: a equação cartesiana do lugar geométrico é \,z=0\,.

Passo 2

Vamos fixar a convenção de coordenadas esféricas que vou usar (a mais comum em muitos livros): cada ponto no espaço é dado por três números \rho, \theta, \varphi com as seguintes interpretações e intervalos:
\rho\ge 0,\qquad 0\le \theta < 2\pi,\qquad 0\le \varphi \le \pi.
Aqui:
  • \rho é a distância do ponto à origem (o raio);
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x, gira no sentido anti-horário);
  • \varphi é o ângulo polar (ou colatitude): o ângulo entre o raio e o eixo z positivo.
    Vou explicar mais visualmente no próximo passo, sem pular etapas.

Passo 3

As relações entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e esféricas (\rho,\theta,\varphi) são obtidas projetando o ponto sobre o triângulo formado por \rho e a componente sobre o eixo z. Essas fórmulas são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
Explicação curta e intuitiva: a componente no eixo z é a hipotenusa \rho vezes o cosseno do ângulo entre \rho e o eixo z, que é exatamente \varphi; por isso z=\rho\cos\varphi.

Passo 4

Agora imponho a equação do plano: \,z=0\,. Substituindo a expressão esférica de z obtemos
\rho\cos\varphi = 0.
Essa igualdade ocorre em duas situações matemáticas:
  1. \rho=0. Isso corresponde ao ponto origem.
  2. \cos\varphi=0. Como \varphi está no intervalo [0,\pi], \cos\varphi=0 equivale a
\varphi=\frac{\pi}{2}.
Geometricamente a condição \varphi=\frac{\pi}{2} significa que o raio forma um ângulo de 90^\circ com o eixo z, ou seja, o ponto está contido no plano z=0 (o plano xy). A origem ( \rho=0) também pertence ao plano, e pode ser vista como o caso limite quando \rho\to 0.

Passo 5

Portanto o lugar geométrico z=0 em coordenadas esféricas é descrito pela condição \varphi=\frac{\pi}{2}, com \rho\ge 0 e \theta variando em [0,2\pi). (A origem está incluída quando \rho=0.)

Resposta

\{\;(\rho,\theta,\varphi)\mid \rho\ge 0,\;0\le \theta<2\pi,\;\varphi=\tfrac{\pi}{2}\;\}

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