Exprimir em coordenadas esféricas os seguintes lugares geométricos:
o plano
;
o plano
Passo 1
O enunciado pede: expressar, em coordenadas esféricas, o lugar geométrico definido pelo plano
.
Informações dadas: a equação cartesiana do lugar geométrico é .
Informações dadas: a equação cartesiana do lugar geométrico é
Passo 2
Vamos fixar a convenção de coordenadas esféricas que vou usar (a mais comum em muitos livros): cada ponto no espaço é dado por três números
,
,
com as seguintes interpretações e intervalos:
Aqui:
-
é a distância do ponto à origem (o raio); -
é o ângulo azimutal no plano (medido a partir do eixo , gira no sentido anti-horário); -
é o ângulo polar (ou colatitude): o ângulo entre o raio e o eixo positivo.
Vou explicar mais visualmente no próximo passo, sem pular etapas.
Passo 3
As relações entre coordenadas cartesianas
e esféricas
são obtidas projetando o ponto sobre o triângulo formado por
e a componente sobre o eixo
. Essas fórmulas são:
Explicação curta e intuitiva: a componente no eixo
é a hipotenusa
vezes o cosseno do ângulo entre
e o eixo
, que é exatamente
; por isso
.
Passo 4
Agora imponho a equação do plano:
. Substituindo a expressão esférica de
obtemos
Essa igualdade ocorre em duas situações matemáticas:
-
. Isso corresponde ao ponto origem. -
. Como está no intervalo , equivale a
Geometricamente a condição
significa que o raio forma um ângulo de
com o eixo
, ou seja, o ponto está contido no plano
(o plano
). A origem (
) também pertence ao plano, e pode ser vista como o caso limite quando
.
Passo 5
Portanto o lugar geométrico
em coordenadas esféricas é descrito pela condição
, com
e
variando em
. (A origem está incluída quando
.)