Sendo sen alpha=raiza-2 e cos alpha=a-1. Determine a.

Passo 1

O enunciado dá
sin alpha = raiza-2 e cos alpha = a-1.
O conteúdo é usar a identidade trigonométrica sin^2alpha + cos^2alpha = 1 e verificar as condições de domínio de raizcdot e dos valores de seno e cosseno.

Passo 2

Aplicando a identidade sin^2alpha + cos^2alpha = 1, obtemos
(raiza-2)^2 + (a-1)^2 = 1

Passo 3

Expandindo e simplificando essa equação:
a - 2 + a^2 - 2a + 1 = 1 Longrightarrow a^2 - a - 1 = 1 Longrightarrow a^2 - a - 2 = 0

Passo 4

Resolvend o trinômio a^2 - a - 2 = 0 pelas fórmulas de Bhaskara ou fatorando, achamos
a = 2 ou a = -1

Passo 5

Verificamos o domínio e a validade:
  1. sin alpha = raiza-2 exige a-2>=0, isto é, a>=2.
  2. cos alpha = a-1 deve pertencer a [-1,1], e para a>2 teríamos a-1>1, impossível.
  3. A solução a=-1 torna raiza-2=raiz-3 não real.
    Logo, a única solução válida é a=2.

Resposta

a = 2

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