Seja V=M_{n}(\mathbb{R}) o espaço de todas as matrizes sobre o corpo \mathbb{R} de ordem n. Seja M uma matriz arbitrária de V e considere T: V \rightarrow V definida por T(A)=A M-M A, onde M \in V. Prove que T: V \rightarrow V é uma aplicação linear.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
O espaço vetorial é V=M_{n}(\mathbb{R}), ou seja, o conjunto de todas as matrizes reais de ordem n.
Foi fixada uma matriz M\in V (uma matriz arbitrária, mas fixa ao definir T).
A aplicação T:V\to V é dada por T(A)=A M - M A para cada A\in V.
O que o enunciado pede:
Provar que T:V\to V é uma aplicação linear (ou seja, mostrar que T satisfaz as propriedades que definem linearidade).
Passo 2
Primeiro, verificar que T está bem definida como aplicação de V em V: para todo A\in V temos que A M e M A são produtos de duas matrizes n\times n, logo ambos são matrizes n\times n (pertencem a V). Portanto a diferença A M - M A também é uma matriz n\times n, então T(A)\in V. Conclusão: T realmente manda elementos de V para V.
Passo 3
Relembrando a definição de aplicação linear: uma aplicação L:V\to V é linear se, para todos X,Y\in V e todo escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
aditividade: L(X+Y)=L(X)+L(Y);
homogeneidade (ou compatibilidade com escalares): L(cX)=c\,L(X).
Mostraremos essas duas propriedades para T.
Passo 4
Prova da aditividade: sejam A,B\in V. Calculamos T(A+B):
T(A+B) = (A+B)M - M(A+B).
Usamos a distributividade da multiplicação de matrizes sobre a adição (propriedade básica de matrizes) para expandir cada termo:
(A+B)M = AM + BM, \qquad M(A+B) = MA + MB.
Substituindo na expressão de T(A+B) obtemos
T(A+B) = (AM + BM) - (MA + MB).
Agrupando termos (isto é, usando a associatividade e comutatividade da soma de matrizes e que a subtração é soma do inverso),
T(A+B) = (AM - MA) + (BM - MB).
Mas AM - MA = T(A) e BM - MB = T(B). Portanto
T(A+B) = T(A) + T(B).
Assim a propriedade aditiva está verificada.
Passo 5
Prova da homogeneidade: seja c\in\mathbb{R} e A\in V. Calculamos T(cA):
T(cA) = (cA)M - M(cA).
Usamos a propriedade de fatoração de escalar na multiplicação de matrizes: (cA)M = c(AM) e M(cA)=c(MA). Substituindo,
T(cA) = c(AM) - c(MA).
Factorando c da expressão (propriedade distributiva do escalar sobre a soma de matrizes),
T(cA) = c\bigl(AM - MA\bigr).
Mas AM - MA = T(A), logo
T(cA) = c\,T(A).
Assim a propriedade de homogeneidade está verificada.
Passo 6
Como já provamos tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T satisfaz as duas condições da definição de aplicação linear. Portanto T é linear.
Comentário adicional (útil na prova): a linearidade implica também que T preserva combinações lineares finitas, isto é, para quaisquer escalares c_1,\dots,c_k e matrizes A_1,\dots,A_k vale