Sendo
, é verdade que
? Faça uma prova algébrica e uma interpretação geométrica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para dois vetores
, vale a relação anticomutativa
O conteúdo envolve (a) a prova algébrica usando componentes e (b) a interpretação geométrica via regra da mão direita e orientação de ângulos.
Passo 2
Sejam
e
.
Pela definição das componentes do produto vetorial, temos
Pela definição das componentes do produto vetorial, temos
De modo análogo, trocando
por
e vice-versa,
Note que, em cada componente,
Portanto
Passo 3
Geometricamente,
, com
o ângulo entre eles, e a direção é dada pela regra da mão direita: indicador em
, médio em
e polegar aponta
. Se invertemos a ordem e colocamos indicador em
e médio em
, o polegar aponta para o sentido oposto. Logo a inversão inverte o sinal do produto vetorial, confirmando
Resposta
Sim. O produto vetorial em
é anticomutativo: