Sendo u, v in R^3, é verdade que u times v=-v times u ? Faça uma prova algébrica e uma interpretação geométrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para dois vetores u,vinR^3, vale a relação anticomutativa
utimesv = -,vtimesu
O conteúdo envolve (a) a prova algébrica usando componentes e (b) a interpretação geométrica via regra da mão direita e orientação de ângulos.

Passo 2

Sejam
u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3).
Pela definição das componentes do produto vetorial, temos
utimesv = l(u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1r)
De modo análogo, trocando u por v e vice-versa,
vtimesu = l(v2u3 - v3u2,;v3u1 - v1u3,;v1u2 - v2u1r)
Note que, em cada componente,
v2u3 - v3u2 = -(u2v3 - u3v2),
v3u1 - v1u3 = -(u3v1 - u1v3),
v1u2 - v2u1 = -(u1v2 - u2v1)
Portanto
vtimesu = -,l(utimesvr) Longrightarrow utimesv = -,vtimesu

Passo 3

Geometricamente, |utimesv| = |u|,|v|sintheta, com theta o ângulo entre eles, e a direção é dada pela regra da mão direita: indicador em u, médio em v e polegar aponta utimesv. Se invertemos a ordem e colocamos indicador em v e médio em u, o polegar aponta para o sentido oposto. Logo a inversão inverte o sinal do produto vetorial, confirmando
utimesv = -,vtimesu

Resposta

Sim. O produto vetorial em R^3 é anticomutativo:
utimesv = -,vtimesu

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