Seja um triângulo ABC e sejam M e N os pontos médio de A C e B C, respectivamente. Prove que M N tem comprimento igual a metade de A B.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC e define M e N como pontos médios de AC e BC, respectivamente. Queremos provar que o segmento MN mede metade de AB. Para isso, vamos usar o método de vetores de posição, que é direto e elegante.

Passo 2

Escolhemos um ponto O como origem e representamos por vec A,vec B,vec C os vetores de posição de A,B,C. Como M e N são pontos médios, seus vetores de posição satisfazem
vec M=vec A+vec C2, vec N=vec B+vec C2

Passo 3

Escrevemos o vetor que vai de M a N:
MN=vec N-vec M =vec B+vec C2-vec A+vec C2 =vec B-vec A2

Passo 4

O lado AB é dado por vec B-vec A. Portanto, da expressão acima obtemos
MN=tfrac12(vec B-vec A) =tfrac12,AB

Passo 5

Como a norma de um múltiplo escalar satisfaz
|MN| =|tfrac12,AB| =tfrac12,|AB|,
segue-se que o comprimento de MN é metade do comprimento de AB.

Resposta

MN = tfrac12,AB

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