Sendo v o vetor velocidade entre dois referenciais, reescreva as TL usando os vetores
v=vv, v=|v|, x|=(x v) v=(x v) vv, xperp=x-x|

Passo 1

O enunciado pede para reescrever as transformações de Lorentz (TL) entre dois referenciais no vácuo, quando o segundo se move com velocidade v em relação ao primeiro, usando a decomposição do vetor posição x em partes paralela e perpendicular a v. O conteúdo que vamos usar é a Relatividade Restrita: a definição de gamma e as fórmulas clássicas
t' = gammal(t - vcdotxc^2r), x' = xperp + gammal(x| - v,tr),
onde
gamma = 1/raiz1 - v^2/c^2,
v = v/v,
x| = (xcdotv),v,
xperp = x-x|.

Passo 2

Primeiro, decomponho arbitrariamente o vetor posição x em
x| = (xcdotv),v e xperp = x - x|
Isso garante que x| aponte na direção de v e xperp seja ortogonal a v.

Passo 3

Para o instante de tempo, a TL dá
t' = gammal(t - vcdotxc^2r),
com
gamma = 1raiz1 - v^2c^2, v = lvertvrvert

Passo 4

A parte da posição paralela a v transforma como
x'| = gammal(x| - v,tr),
pois sofre contração/comprimento alongado na direção do movimento.

Passo 5

A parte perpendicular a v é inalterada pela TL:
x'perp = xperp
Com isso, a transformação espacial completa fica
x' = x'perp + x'| = xperp + gammal(x| - v,tr)

Resposta

t' = gammal(t - vcdotxc^2r), x' = xperp + gammal(x| - v,tr),
com
v = v/v,
x| = (xcdotv),v,
xperp = x - x|,
gamma = 1/raiz1 - v^2/c^2.

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