Se vec{n}(x, y) é vetor unitário normal ao traço da curva gamma em ( x, y ), calcule int_{gamma} vec{F} \cdot vec{n} d s sendo
vec{F}(x, y)=x^{3} y^{3} vec{i}-\frac{3 x^{2} y^{4}+2}{4} vec{j} e gamma(t)=\left(t^{3}, \operatorname{sen}\left(4 \arctan t^{2}\right)\right), t \in[0,1], n \cdot vec{j} \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds
onde \mathbf{F}(x,y)=(x^3y^3,\,-\tfrac{3x^2y^4+2}{4}), a curva \gamma(t)=(t^3,\sin(4\arctan(t^2))), t\in[0,1], e \mathbf{n} é o vetor normal unitário com componente y não positiva. O conteúdo é cálculo de integral de linha de fluxo usando parametrização e escolha de normal.

Passo 2

Parametrizamos e calculamos as derivadas:
x(t)=t^3,\quad y(t)=\sin\bigl(4\arctan(t^2)\bigr),
x'(t)=3t^2,\quad y'(t)=\cos\bigl(4\arctan(t^2)\bigr)\cdot\frac{8t}{1+t^4}.

Passo 3

Para achar o fluxo escolhemos o normal \mathbf{n} pela rotação de 90^\circ no sentido horário de \gamma', pois assim a componente y de \mathbf{n} fica \le0. Nesse caso
\mathbf{n}\,ds =\bigl(y',\,-x'\bigr)\,dt,
e o integrando torna–se
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds =F_x\,y' + F_y\,(-x') =x^3y^3\,y' + \frac{3x^2y^4+2}{4}\,x'.

Passo 4

Observamos que
\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{1}{4}x^3y^4 + \tfrac12x\Bigr) =\tfrac{3x^2y^4}{4}\,x' + x^3y^3\,y' + \tfrac12\,x',
que coincide com
x^3y^3\,y' + \frac{3x^2y^4+2}{4}\,x'.
Logo o integrando é derivada de
H(t)=\tfrac14\,x(t)^3y(t)^4 + \tfrac12\,x(t).

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_0^1 \frac{dH}{dt}\,dt =H(1)-H(0).
Em t=1: x=1, y=\sin(4\cdot\tfrac\pi4)=0, logo H(1)=\tfrac14\cdot1^3\cdot0^4+\tfrac12\cdot1=\tfrac12.
Em t=0: x=0, y=0, logo H(0)=0.

Resposta

\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \tfrac12.

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