Mostre que
a) \|\vec{x}+\vec{y}\| \leqslant\|\vec{x}\|+\|\vec{y}\| (propriedade triangular)
b) |\|\vec{x}\|-\|\vec{y}\|| \leqslant\|\vec{x}-\vec{y}\|
c) |\vec{x} \cdot \vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| \Leftrightarrow \vec{x}, \vec{y} são lineares dependentes
Sugestão
a) \|\vec{x}+\vec{y}\|^{2}=\|\vec{x}\|^{2}+2 \vec{x} \cdot \vec{y}+\|\vec{y}\|^{2}. Use \vec{x} \cdot \vec{y} \leqslant|\vec{x} \cdot \vec{y}| \leqslant\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|
(Desigualdade de Schwarz.)
b) A desigualdade equivale a
Escreva \vec{x}=(\vec{x}-\vec{y})+\vec{y}. Use a parte \mathbf{a}.
Passo 1
O enunciado pede que, em \mathbb{R}^n com o produto interno usual e norma \|\vec{z}\| = \sqrt{\vec{z}\cdot\vec{z}}, provemos:
a) a desigualdade triangular
b) a desigualdade inversa da triangular
c) que a igualdade em Cauchy–Schwarz só ocorre quando os vetores são linearmente dependentes.
Passo 2
Para (a), comece calculando o quadrado da norma da soma:
(\Leftarrow) Suponha |\vec{x}\cdot\vec{y}| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
Se \vec{x}=\vec{0} ou \vec{y}=\vec{0}, há dependência linear trivial.
Caso contrário, defina
Como \lambda\|\vec{x}\|^2 = \vec{x}\cdot\vec{y} e |\vec{x}\cdot\vec{y}| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|, substituindo vê–se que \|\vec{u}\|^2=0.
Logo \vec{u}=\vec{0}, isto é \vec{y}=\lambda\,\vec{x}, mostrando a dependência linear.
Resposta
a) \|\vec{x}+\vec{y}\|\le\|\vec{x}\|+\|\vec{y}\|
b) \bigl|\|\vec{x}\|-\|\vec{y}\|\bigr|\le\|\vec{x}-\vec{y}\|
c) |\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| se e somente se \vec{x},\vec{y} são linearmente dependentes.