Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{v} \cdot \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes vetores e pede o produto escalar entre \vec{v} e \vec{w}:
\vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2},5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3).
A pergunta específica é: calcular \vec{v}\cdot\vec{w}.

Passo 2

Definição e ideia: o produto escalar (ou dot product) entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é obtido multiplicando componente a componente e somando os resultados. Se tivermos \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Explicação simples: pegue as primeiras componentes, multiplique; pegue as segundas, multiplique; pegue as terceiras, multiplique; some tudo. Não esqueça os sinais (positivo/negativo) nas multiplicações.

Passo 3

Aplicando a fórmula a \vec{v}=(-1,1,-1) e \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right), temos
\vec{v}\cdot\vec{w}=(-1)\cdot\left(-2\right)+1\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+(-1)\cdot 5.
Agora calculamos cada produto componente a componente:
(-1)\cdot\left(-2\right)=2,
1\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{1}{2},
(-1)\cdot 5=-5.

Passo 4

Somando os termos obtidos:
\vec{v}\cdot\vec{w}=2-\tfrac{1}{2}-5.
Fazendo a soma passo a passo: primeiro 2-5=-3. Em forma de meia, -3=-\tfrac{6}{2}. Então
-\tfrac{6}{2}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{7}{2}.
Em decimal isso é -3,5, mas a forma fracionária é mais exata: -\tfrac{7}{2}.

Passo 5

Comentário útil para a prova: o produto escalar é comutativo, ou seja \vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{w}\cdot\vec{v}. Também vale lembrar que o produto escalar está ligado ao ângulo entre vetores pela fórmula \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta, o que permite interpretar sinais (negativo indica ângulo maior que 90^\circ). Agora você já sabe calcular passo a passo e checar o sinal com a intuição geométrica.

Resposta

-\tfrac{7}{2}

Exercícios relacionados