Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{w} \cdot \vec{z}

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores e pede para calcular o produto escalar entre \vec{w} e \vec{z}. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right),\qquad \vec{z}=(-1,2,-3).
Pergunta: calcular \vec{w}\cdot\vec{z}.

Passo 2

Definição e ideia do produto escalar em 3D: para dois vetores
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\quad\text{e}\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
o produto escalar (ou produto interno) é dado por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Explicação das partes: a_1,a_2,a_3 são as componentes do primeiro vetor; b_1,b_2,b_3 são as componentes do segundo. Para cada posição (primeira, segunda, terceira) multiplicamos as componentes correspondentes e somamos os três produtos. O resultado é um número real.
Exemplo curto para fixar (fora do exercício): se \vec{p}=(2,1,0) e \vec{q}=(3,-1,4), então
\vec{p}\cdot\vec{q}=2\cdot3 + 1\cdot(-1) + 0\cdot4 = 6-1+0=5.
Viu como é só multiplicar coordenada a coordenada e somar.

Passo 3

Identificar as componentes de \vec{w} e \vec{z} a partir do enunciado (peguei os valores diretamente do enunciado):
\vec{w}=\big(w_1,w_2,w_3\big)=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right),
\vec{z}=\big(z_1,z_2,z_3\big)=(-1,2,-3).

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto escalar multiplicando componente a componente:
\vec{w}\cdot\vec{z}=w_1z_1 + w_2z_2 + w_3z_3.
Substituindo as componentes:
\vec{w}\cdot\vec{z}=(-2)\cdot(-1) + \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2 + 5\cdot(-3).
Calculemos cada produto separadamente:
(-2)\cdot(-1)=2,
\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2 = -1,
5\cdot(-3) = -15.

Passo 5

Somar os resultados parciais obtidos:
2 + (-1) + (-15).
Primeiro 2 + (-1)=1. Somando o último termo temos 1 + (-15), cujo resultado final está na seção de resposta.

Resposta

-14

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