Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{u} \times \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,4,3) e \vec{v}=(-1,1,-1) e pede para calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.
Informações relevantes: os componentes de \vec{u} são (1,4,3) e de \vec{v} são (-1,1,-1). A tarefa é encontrar o vetor resultante do produto cruzado entre eles.

Passo 2

O que é o produto vetorial (cross product) e fórmula prática.
O produto vetorial de dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é o vetor
\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
Explicando: cada componente do resultado é uma diferença de produtos entre componentes dos vetores originais; a ordem importa (não é comutativo: \vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})). Essa fórmula é a forma componente do determinante com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, mas a forma acima é a mais direta para calcular à mão.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Identificamos
a_1=1,\; a_2=4,\; a_3=3,\qquad b_1=-1,\; b_2=1,\; b_3=-1,
onde \vec{a}=\vec{u} e \vec{b}=\vec{v}. Vamos calcular cada componente usando a fórmula:
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = a_2b_3 - a_3b_2,
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = a_3b_1 - a_1b_3,
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = a_1b_2 - a_2b_1.

Passo 4

Calcular a primeira componente (\vec{u}\times\vec{v})_1:
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = 4\cdot(-1) - 3\cdot 1 = -4 - 3 = -7.
Expliquei cada multiplicação e subtração para você poder reproduzir passo a passo na prova.

Passo 5

Calcular a segunda componente (\vec{u}\times\vec{v})_2:
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = 3\cdot(-1) - 1\cdot(-1) = -3 -(-1) = -3 + 1 = -2.
Note como o sinal do segundo termo vira positivo por ser subtração de um produto negativo.

Passo 6

Calcular a terceira componente (\vec{u}\times\vec{v})_3:
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = 1\cdot 1 - 4\cdot(-1) = 1 -(-4) = 1 + 4 = 5.

Passo 7

Juntando as componentes, obtemos
\vec{u}\times\vec{v}=(-7,-2,5).
Como checagem rápida (útil na prova): verifique se o resultado é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} calculando os produtos escalares.
Produto escalar com \vec{u}:
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=1\cdot(-7)+4\cdot(-2)+3\cdot5=-7-8+15=0.
Produto escalar com \vec{v}:
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=(-1)\cdot(-7)+1\cdot(-2)+(-1)\cdot5=7-2-5=0.
Os dois zeros confirmam que o vetor encontrado é ortogonal a \vec{u} e \vec{v}, o que indica que o cálculo está correto.

Resposta

\vec{u}\times\vec{v}=(-7,-2,5)

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