Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular: \vec{u} \times \vec{w}
Passo 1
O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2},5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). A pergunta é: calcular \vec{u}\times\vec{w}. Ou seja, queremos o produto vetorial entre \vec{u} e \vec{w}.
Passo 2
Lembrete do que é o produto vetorial (explicação didática): o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} de dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos. Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), podemos calcular suas componentes pela fórmula (usando a notação de determinante):
Explicando cada símbolo: a_1 é a primeira componente de \vec{a} (coordenada x), a_2 é a segunda (coordenada y), a_3 é a terceira (coordenada z). Mesma coisa para b_1,b_2,b_3. Cada componente do produto vetorial é uma diferença de produtos de componentes dos vetores originais.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos vetores dados. Primeiro identificamos as componentes:
Como verificação rápida (opcional): produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) e \vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) devem ser zero (ortogonalidade). Não é obrigatório na prova, mas é um bom hábito para checar cálculo.