Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{u} \times \vec{w}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2},5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). A pergunta é: calcular \vec{u}\times\vec{w}. Ou seja, queremos o produto vetorial entre \vec{u} e \vec{w}.

Passo 2

Lembrete do que é o produto vetorial (explicação didática): o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} de dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos. Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), podemos calcular suas componentes pela fórmula (usando a notação de determinante):
\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}
Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x,y,z. Na prática, isso dá a fórmula componente a componente:
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Explicando cada símbolo: a_1 é a primeira componente de \vec{a} (coordenada x), a_2 é a segunda (coordenada y), a_3 é a terceira (coordenada z). Mesma coisa para b_1,b_2,b_3. Cada componente do produto vetorial é uma diferença de produtos de componentes dos vetores originais.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos vetores dados. Primeiro identificamos as componentes:
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(1,4,3),\qquad \vec{w}=(w_1,w_2,w_3)=\left(-2,-\frac{1}{2},5\right).
Agora calculamos a primeira componente c_1 usando c_1=u_2w_3-u_3w_2.
u_2w_3 = 4\cdot 5 = 20,
u_3w_2 = 3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}.
Portanto
c_1 = 20 - \left(-\frac{3}{2}\right) = 20 + \frac{3}{2} = \frac{40}{2}+\frac{3}{2}=\frac{43}{2}.

Passo 4

Agora a segunda componente c_2 pela fórmula c_2=u_3w_1-u_1w_3.
u_3w_1 = 3\cdot(-2) = -6,
u_1w_3 = 1\cdot 5 = 5.
Logo
c_2 = -6 - 5 = -11.

Passo 5

Agora a terceira componente c_3 pela fórmula c_3=u_1w_2-u_2w_1.
u_1w_2 = 1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2},
u_2w_1 = 4\cdot(-2) = -8.
Então
c_3 = -\frac{1}{2} - (-8) = -\frac{1}{2} + 8 = -\frac{1}{2} + \frac{16}{2} = \frac{15}{2}.

Passo 6

Juntando as componentes obtidas, o produto vetorial é
\vec{u}\times\vec{w}=\left(\frac{43}{2},\,-11,\,\frac{15}{2}\right).
Como verificação rápida (opcional): produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) e \vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) devem ser zero (ortogonalidade). Não é obrigatório na prova, mas é um bom hábito para checar cálculo.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{43}{2},-11,\frac{15}{2}\right)

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