Use a serie geométrica para encontrar a serie de potências das seguintes funções ln (6-x) Passo 1O enunciado pede a série de potências de ln(6 - x) em torno de x=0, usando a série geométrica. Vamos precisar usar a fatoração de logaritmo em produto e a expansão de 11 - u = sumn=0^infty u^n, |u|<1, seguida de integração para obter a série de ln(1-u). Passo 2Fatoramos o argumento do logaritmo extraindo 6: ln(6 - x) = lnl(6,(1 - tfracx6)r) = ln 6 + lnl(1 - tfracx6r) Passo 3Para obter a expansão de ln(1 - u), note que para |u|<1 vale 11 - u = sumn=0^infty u^n Integramos termo a termo de 0 até u: integral0^u 11 - t,dt = -ln(1 - u) = sumn=0^infty integral0^u t^n,dt = sumn=0^infty u^n+1n+1 Logo, reindexando a soma em n>=1, ficamos com ln(1 - u) = -sumn=1^infty u^nn, |u|<1 Passo 4Substituindo u = tfracx6 na fórmula anterior: ln!l(1 - tfracx6r) = -sumn=1^infty 1n,l(x6r)^n = -sumn=1^infty x^nn,6^n, válido para l|tfracx6r|<1, isto é |x|<6. Então ln(6 - x) = ln 6 ;-;sumn=1^infty x^nn,6^n, com raio de convergência R=6. Resposta boxedln(6 - x) = ln 6 ;-;sumn=1^infty x^nn,6^n, |x|<6 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUsando a serie de Maclaurin das funções e^x, e^-x^2, sin (x), cos (x), tan ^-1(x), ln (1+x) e(1+x)^-1 / 2, calcule os limites lim x 0 e^x-1-xx^2 Sendo u e v vetores do R^n, mostre que u é ortogonal a v se, e somente se, |u+v|^2=|u|^2+|v|^2 Dê uma interpretação geométrica deste resultado. (Dica: ex. 3 a+ dica ex. 4+ ex. 6). Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado. x=sen t, y=cos ^2 t, -2 pi <= t <= 2 pi Usando a serie de Maclaurin das funções e^x, e^-x^2, sin (x), cos (x), tan ^-1(x), ln (1+x) e(1+x)^-1 / 2, calcule os limites lim x 0 sin (x)-xx^3