Use a serie geométrica para encontrar a serie de potências das seguintes funções
ln (6-x)

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de ln(6 - x) em torno de x=0, usando a série geométrica. Vamos precisar usar a fatoração de logaritmo em produto e a expansão de
11 - u = sumn=0^infty u^n, |u|<1,
seguida de integração para obter a série de ln(1-u).

Passo 2

Fatoramos o argumento do logaritmo extraindo 6:
ln(6 - x) = lnl(6,(1 - tfracx6)r) = ln 6 + lnl(1 - tfracx6r)

Passo 3

Para obter a expansão de ln(1 - u), note que para |u|<1 vale
11 - u = sumn=0^infty u^n
Integramos termo a termo de 0 até u:
integral0^u 11 - t,dt = -ln(1 - u) = sumn=0^infty integral0^u t^n,dt = sumn=0^infty u^n+1n+1
Logo, reindexando a soma em n>=1, ficamos com
ln(1 - u) = -sumn=1^infty u^nn, |u|<1

Passo 4

Substituindo u = tfracx6 na fórmula anterior:
ln!l(1 - tfracx6r) = -sumn=1^infty 1n,l(x6r)^n = -sumn=1^infty x^nn,6^n,
válido para l|tfracx6r|<1, isto é |x|<6. Então
ln(6 - x) = ln 6 ;-;sumn=1^infty x^nn,6^n,
com raio de convergência R=6.

Resposta

boxedln(6 - x) = ln 6 ;-;sumn=1^infty x^nn,6^n, |x|<6

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