Sendo x=3 sin theta, calcule y=raiz9-x^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre a variável x e o parâmetro θ, a saber x=3 sin θ, e pede para calcular y=
y=raiz9 - x^2
Para resolver, vamos usar a definição de raiz quadrada (que exige resultado não negativo) e a identidade trigonométrica fundamental sin²θ + cos²θ = 1.

Passo 2

Substituímos x na expressão de y:
y=raiz9 - (3sintheta)^2,

Passo 3

Dentro da raiz, calculamos o quadrado:
9 - (3sintheta)^2 = 9 - 9sin^2theta

Passo 4

Fatoramos 9 para facilitar a aplicação da identidade trigonométrica:
9 - 9sin^2theta = 9(1 - sin^2theta)

Passo 5

Pela identidade 1 - sin²θ = cos²θ, temos:
y=raiz9cos^2theta

Passo 6

Como a raiz quadrada de um quadrado dá o valor absoluto, e y está definido como a raiz principal (não negativa), concluímos que:
y = 3|costheta|

Resposta

y = 3|cos θ|

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