- Um garoto
vem correndo
, tangente a uma roda girante horizontal
, que está em repouso. Se ao passar pela roda, o garoto pula nela, qual será o período de rotação final do sistema roda+garoto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um garoto de 25 kg que está correndo a 80 cm/s e acaba pulando em uma roda girante que está parada. A roda tem um momento de inércia de 20 kg·m² e raio de 1 metro. A gente precisa descobrir qual será o período de rotação da roda depois que o garoto pular nela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento angular e conservação de momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento angular. É uma grandeza que descreve a quantidade de rotação que um objeto tem. No nosso caso, o garoto está se movendo tangencialmente à roda, então ele tem um momento angular inicial que será transferido para a roda quando ele pular nela.
Passo 3
Como não tem torque externo agindo no sistema (garoto + roda), o momento angular total do sistema vai ser conservado. Isso significa que o momento angular que o garoto tinha antes de pular na roda é igual ao momento angular que o sistema terá depois.
Passo 4
Vamos calcular o momento angular inicial do garoto. A fórmula é:
Onde:
- $ m = 25 , kg $ (massa do garoto)
- $ v = 0,8 , m/s $ (velocidade)
- $ R = 1 , m $ (raio da roda)
Então:
Passo 5
Agora, vamos considerar o momento de inércia final do sistema roda + garoto. A roda já tem um momento de inércia de 20 kg·m², e o garoto adiciona mais:
Passo 6
Com o momento angular conservado, temos:
Onde $ \omega $ é a velocidade angular final.
Passo 7
Vamos resolver para $ \omega $:
Passo 8
Finalmente, para encontrar o período de rotação $ T $, usamos a relação entre período e velocidade angular:
Substituindo:
Resposta
O período de rotação final do sistema roda + garoto é $ \frac{9\pi}{2} $ segundos, aproximadamente 14,137 segundos.