1. Um garoto (25 kg) vem correndo (v=80 cm / s), tangente a uma roda girante horizontal (I=20 kg cdot m^2, R=1 m), que está em repouso. Se ao passar pela roda, o garoto pula nela, qual será o período de rotação final do sistema roda+garoto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um garoto de 25 kg que está correndo a 80 cm/s e acaba pulando em uma roda girante que está parada. A roda tem um momento de inércia de 20 kg·m² e raio de 1 metro. A gente precisa descobrir qual será o período de rotação da roda depois que o garoto pular nela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento angular e conservação de momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento angular. É uma grandeza que descreve a quantidade de rotação que um objeto tem. No nosso caso, o garoto está se movendo tangencialmente à roda, então ele tem um momento angular inicial que será transferido para a roda quando ele pular nela.

Passo 3

Como não tem torque externo agindo no sistema (garoto + roda), o momento angular total do sistema vai ser conservado. Isso significa que o momento angular que o garoto tinha antes de pular na roda é igual ao momento angular que o sistema terá depois.

Passo 4

Vamos calcular o momento angular inicial do garoto. A fórmula é:
Lgaroto = m times v times R
Onde:
- $ m = 25 , kg $ (massa do garoto)
- $ v = 0,8 , m/s $ (velocidade)
- $ R = 1 , m $ (raio da roda)
Então:
m = 25 , kg ²

Passo 5

Agora, vamos considerar o momento de inércia final do sistema roda + garoto. A roda já tem um momento de inércia de 20 kg·m², e o garoto adiciona mais:
Itotal = Iroda + m times R² = 20 + 25 times 1² = 45 , kg·m² ²²²

Passo 6

Com o momento angular conservado, temos:
Linicial = Lfinal
20 = 45 times omega
Onde $ \omega $ é a velocidade angular final.

Passo 7

Vamos resolver para $ \omega $:
omega

Passo 8

Finalmente, para encontrar o período de rotação $ T $, usamos a relação entre período e velocidade angular:
T
Substituindo:
T = 2piomega

Resposta

O período de rotação final do sistema roda + garoto é $ \frac{9\pi}{2} $ segundos, aproximadamente 14,137 segundos.

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