Verifique que y_{1} é solução da equação dada e, usando redução de ordem, determine outra solução y_{2} da equação, de forma que y_{1} e y_{2} sejam LI.
O enunciado e os dados que temos (tudo aqui foi dado no enunciado):
Equação diferencial: x^{2}y''+x y'-4y=0.
Uma solução dada: y_{1}=x^{2}.
O que o enunciado pede:
Verificar que \,y_{1}=x^{2}\, é solução da equação dada.
Usando redução de ordem, encontrar outra solução \,y_{2}\, tal que \,y_{1} e \,y_{2} sejam linearmente independentes (LI).
Observação sobre domínio: as operações abaixo dividem por potências de x, portanto a solução e a verificação serão consideradas em um intervalo onde x\neq0.
Passo 2
Verificação direta de que \,y_{1}=x^{2}\, satisfaz a equação. Primeiro calcule as derivadas:
Portanto \,y_{1}=x^{2}\, é de fato uma solução da equação diferencial.
Passo 3
Ideia da redução de ordem (explicação didática): quando conhecemos uma solução não trivial y_{1}(x) de uma equação linear homogênea de segunda ordem, procuramos a segunda solução na forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. A motivação é que ao substituir y_{2} na equação, muitas vezes a equação de segunda ordem em v reduz para uma equação de ordem inferior (normalmente reduz para uma equação de primeira ordem para v'), que é mais fácil de resolver. Aqui escolhemos y_{2}=v(x)\,x^{2}.
Passo 4
Calcule as derivadas de y_{2}=v(x)x^{2}. Usando a regra do produto:
y_{2}'=v' x^{2} + 2x v,
y_{2}''=v'' x^{2} + 4x v' + 2 v.
Passo 5
Substitua y_{2},y_{2}',y_{2}'' na equação original:
A parte C_{3}x^{2} é um múltiplo da solução conhecida y_{1}=x^{2}, então não dá nova solução linearmente independente. A outra parte proporcional a x^{-2} fornece a segunda solução essencialmente nova. Escolhendo constantes convenientemente (por exemplo C_{2}=-4), obtemos a segunda solução simples
y_{2}=x^{-2}.
Passo 9
Verificação de independência linear (usando o Wronskiano). Calcule o Wronskiano de y_{1}=x^{2} e y_{2}=x^{-2}: