Verifique que y_{1} é solução da equação dada e, usando redução de ordem, determine outra solução y_{2} da equação, de forma que y_{1} e y_{2} sejam LI.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0, \quad y_{1}=x^{2}

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (tudo aqui foi dado no enunciado):
  • Equação diferencial: x^{2}y''+x y'-4y=0.
  • Uma solução dada: y_{1}=x^{2}.
O que o enunciado pede:
  1. Verificar que \,y_{1}=x^{2}\, é solução da equação dada.
  2. Usando redução de ordem, encontrar outra solução \,y_{2}\, tal que \,y_{1} e \,y_{2} sejam linearmente independentes (LI).
Observação sobre domínio: as operações abaixo dividem por potências de x, portanto a solução e a verificação serão consideradas em um intervalo onde x\neq0.

Passo 2

Verificação direta de que \,y_{1}=x^{2}\, satisfaz a equação. Primeiro calcule as derivadas:
y_{1}'=2x,\qquad y_{1}''=2.
Substituindo na equação:
x^{2}\cdot 2 + x\cdot(2x) - 4\cdot x^{2} = 2x^{2} + 2x^{2} - 4x^{2} = 0.
Portanto \,y_{1}=x^{2}\, é de fato uma solução da equação diferencial.

Passo 3

Ideia da redução de ordem (explicação didática): quando conhecemos uma solução não trivial y_{1}(x) de uma equação linear homogênea de segunda ordem, procuramos a segunda solução na forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. A motivação é que ao substituir y_{2} na equação, muitas vezes a equação de segunda ordem em v reduz para uma equação de ordem inferior (normalmente reduz para uma equação de primeira ordem para v'), que é mais fácil de resolver. Aqui escolhemos y_{2}=v(x)\,x^{2}.

Passo 4

Calcule as derivadas de y_{2}=v(x)x^{2}. Usando a regra do produto:
y_{2}'=v' x^{2} + 2x v,
y_{2}''=v'' x^{2} + 4x v' + 2 v.

Passo 5

Substitua y_{2},y_{2}',y_{2}'' na equação original:
x^{2}(v'' x^{2} + 4x v' + 2v) + x(v' x^{2} + 2x v) -4(v x^{2}) = 0.
Agora simplifique termo a termo:
x^{4}v'' + 4x^{3}v' + 2x^{2}v + x^{3}v' + 2x^{2}v -4x^{2}v = 0.
Some termos semelhantes ( 2x^{2}v+2x^{2}v-4x^{2}v=0), então sobra:
x^{4}v'' + 5x^{3}v' = 0.

Passo 6

Reduza a ordem dividindo por x^{3} (valendo para x\neq0):
x v'' + 5 v' = 0.
Agora faça a substituição w=v'. Então w'=v'' e obtemos uma equação de primeira ordem para w:
x w' + 5 w = 0.
Isto é separável. Reescrevendo:
\frac{w'}{w} = -\frac{5}{x}.
Integre ambos os lados:
\ln|w| = -5\ln|x| + C_{1} \quad\Rightarrow\quad w = C_{2} x^{-5},
onde C_{2}=e^{C_{1}} é constante arbitrária.

Passo 7

Volte para v: como w=v', temos
v' = C_{2} x^{-5}.
Integre para obter v:
v = C_{2}\int x^{-5}\,dx = C_{2}\left(\frac{x^{-4}}{-4}\right) + C_{3} = -\frac{C_{2}}{4}x^{-4} + C_{3},
com C_{3} constante de integração.

Passo 8

Recupere y_{2}=v x^{2}:
y_{2} = \left(-\frac{C_{2}}{4}x^{-4} + C_{3}\right)x^{2} = -\frac{C_{2}}{4}x^{-2} + C_{3}x^{2}.
A parte C_{3}x^{2} é um múltiplo da solução conhecida y_{1}=x^{2}, então não dá nova solução linearmente independente. A outra parte proporcional a x^{-2} fornece a segunda solução essencialmente nova. Escolhendo constantes convenientemente (por exemplo C_{2}=-4), obtemos a segunda solução simples
y_{2}=x^{-2}.

Passo 9

Verificação de independência linear (usando o Wronskiano). Calcule o Wronskiano de y_{1}=x^{2} e y_{2}=x^{-2}:
W(y_{1},y_{2})(x)=\begin{vmatrix} x^{2} & x^{-2} \\\\ 2x & -2x^{-3} \end{vmatrix} = x^{2}\cdot(-2x^{-3}) - x^{-2}\cdot(2x).
Simplificando:
W(x) = -2x^{-1} - 2x^{-1} = -4x^{-1}.
Como W(x) = -4/x \neq 0 para x\neq0, as funções são linearmente independentes nesse domínio. Portanto \,y_{1} e \,y_{2} formam um par de soluções LI.

Resposta

y_{1}=x^{2} é solução da equação diferencial.
Uma segunda solução linearmente independente é y_{2}=x^{-2}.

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