O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 (em minutos), tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor:
a) Cessar em até 10 minutos?
b) Demorar pelo menos 12 minutos?
c) Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10 ?
a) Cessar em até 10 minutos?
b) Demorar pelo menos 12 minutos?
c) Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10 ?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e faz estas perguntas.
- Informação dada:
- O tempo para o remédio fazer efeito segue uma densidade uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos (ou seja, o tempo
é um número real que pertence a ).
- O tempo para o remédio fazer efeito segue uma densidade uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos (ou seja, o tempo
- Perguntas:
- (a) Qual a probabilidade da dor cessar em até 10 minutos?
- (b) Qual a probabilidade de demorar pelo menos 12 minutos?
- (c) Qual a probabilidade de durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10 minutos?
Passo 2
Vamos traduzir a informação matemática: quando uma variável contínua
Explicação intuitiva: como a densidade é constante, a probabilidade de
é proporcional ao comprimento desse subintervalo. A regra prática é:
desde que
. Observação: para variáveis contínuas não faz diferença escrever
ou
em pontos isolados (por exemplo,
).]
Passo 3
Resolver (a): “cessar em até 10 minutos” significa o evento
. Aplicando a fórmula com
e
,
Em forma decimal, isso é
. Interpretação rápida: o intervalo
tem comprimento
num total de
, então metade das possibilidades.
Passo 4
Resolver (b): “demorar pelo menos 12 minutos” significa o evento
. Para contínuas, isso é equivalente a
e corresponde ao subintervalo
. Logo,
Em forma decimal, isso é
. Intuição: o pedaço do intervalo de comprimento
sobre o total
.
Passo 5
Resolver (c): trata-se de probabilidade condicional. A fórmula geral da probabilidade condicional é
onde
e
são eventos e
. Aqui tomamos
e
. Então
. Vamos calcular numerador e denominador usando a regra do comprimento de intervalos.
Passo 6
Calcular
. Aplicando a fórmula,
Calcular
. Já calculamos em (a):
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula condicional:
Em decimal isso dá
. Interpretação intuitiva: dentro do intervalo
(que tem “tamanho” 5), a parte que está acima de 7 é o subintervalo
de “tamanho” 3, logo
das situações condicionadas.
Resposta
a)
b)
c)