O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 (em minutos), tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor:
a) Cessar em até 10 minutos?
b) Demorar pelo menos 12 minutos?
c) Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10 ?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e faz estas perguntas.
  • Informação dada:
    • O tempo para o remédio fazer efeito segue uma densidade uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos (ou seja, o tempo X é um número real que pertence a [5,15]).
  • Perguntas:
    • (a) Qual a probabilidade da dor cessar em até 10 minutos?
    • (b) Qual a probabilidade de demorar pelo menos 12 minutos?
    • (c) Qual a probabilidade de durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10 minutos?

Passo 2

Vamos traduzir a informação matemática: quando uma variável contínua X\) é uniforme em \([5,15]\), sua densidade de probabilidade é constante naquele intervalo e zero fora. A fórmula é \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{15-5}=\frac{1}{10}, & x\in[5,15],\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Explicação intuitiva: como a densidade é constante, a probabilidade de X\] cair em qualquer subintervalo \([c,d]\subset[5,15] é proporcional ao comprimento desse subintervalo. A regra prática é:
P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{15-5}=\frac{d-c}{10},
desde que 5\le c\le d\le15. Observação: para variáveis contínuas não faz diferença escrever < ou \le em pontos isolados (por exemplo, P(X\le10)=P(X<10)).]

Passo 3

Resolver (a): “cessar em até 10 minutos” significa o evento \{X\le10\}. Aplicando a fórmula com c=5 e d=10,
P(X\le10)=\frac{10-5}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.
Em forma decimal, isso é 0,5. Interpretação rápida: o intervalo [5,10] tem comprimento 5 num total de 10, então metade das possibilidades.

Passo 4

Resolver (b): “demorar pelo menos 12 minutos” significa o evento \{X\ge12\}. Para contínuas, isso é equivalente a \{X>12\} e corresponde ao subintervalo [12,15]. Logo,
P(X\ge12)=\frac{15-12}{10}=\frac{3}{10}.
Em forma decimal, isso é 0,3. Intuição: o pedaço do intervalo de comprimento 3 sobre o total 10.

Passo 5

Resolver (c): trata-se de probabilidade condicional. A fórmula geral da probabilidade condicional é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
onde A e B são eventos e P(B)>0. Aqui tomamos A=\{X>7\} e B=\{X<10\}. Então A\cap B=\{7<X<10\}. Vamos calcular numerador e denominador usando a regra do comprimento de intervalos.

Passo 6

Calcular P(A\cap B)=P(7<X<10). Aplicando a fórmula,
P(7<X<10)=\frac{10-7}{10}=\frac{3}{10}.
Calcular P(B)=P(X<10). Já calculamos em (a):
P(X<10)=\frac{10-5}{10}=\frac{5}{10}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula condicional:
P(X>7 \mid X<10)=\frac{P(7<X<10)}{P(X<10)}=\frac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{5}{10}}=\frac{3}{5}.
Em decimal isso dá 0,6. Interpretação intuitiva: dentro do intervalo [5,10] (que tem “tamanho” 5), a parte que está acima de 7 é o subintervalo (7,10) de “tamanho” 3, logo 3/5 das situações condicionadas.

Resposta

a) \dfrac{1}{2}=0,5
b) \dfrac{3}{10}=0,3
c) \dfrac{3}{5}=0,6

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