Sendo z in C, determine expressões em função das partes real e imaginária e do módulo de z para
z+barz

Passo 1

O enunciado pede para expressar
z+bar z
usando a parte real, a parte imaginária e o módulo de z. Vamos precisar do fato de que todo zinC pode ser escrito em forma cartesiana z=x+iy e em forma polar z=|z|(costheta+isintheta).

Passo 2

Escrevendo
z = x + i y, bar z = x - i y,
temos
z + bar z = (x + i y) + (x - i y) = 2x

Passo 3

Como x=Re(z), concluímos que
z+bar z = 2,Re(z)
e que essa soma é um número real, isto é,
Im(z+bar z)=0

Passo 4

Em forma polar, x=Re(z)=|z|costheta com theta=arg(z). Logo
z+bar z = 2x = 2,|z|cosl(arg(z)r)

Resposta

z+bar z = 2,Re(z), Im(z+bar z)=0, z+bar z = 2,|z|cos!l(arg(z)r)

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