Em uma senha de 3 dígitos feita com os números de 0 a 9 , sem repetição:
(a) Quantas senhas diferentes podem ser criadas?
(a) Quantas senhas diferentes podem ser criadas?
Passo 1
O enunciado pede: “Em uma senha de 3 dígitos feita com os números de 0 a 9, sem repetição: (a) Quantas senhas diferentes podem ser criadas?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos os dígitos disponíveis
, ou seja, dígitos no total. - A senha tem exatamente
posições (é uma sequência de três dígitos). - Não é permitida a repetição de dígitos (cada dígito usado só pode aparecer uma vez na senha).
- Não há restrição explícita sobre o primeiro dígito (logo, o zero pode ser usado na primeira posição — trata-se de uma sequência, não de um número que precise ter três dígitos não nulos).
O que se pergunta:
- Quantas senhas distintas (sequências de três dígitos) podem ser formadas sob essas condições?
Passo 2
Entendendo o princípio básico de contagem (regra do produto): quando queremos formar uma sequência de escolhas em etapas sucessivas e o número de opções de cada etapa não depende das escolhas futuras além das eliminadas pelas restrições já impostas, o número total de sequências possíveis é o produto do número de opções em cada etapa.
Aqui temos três etapas (posição 1, posição 2 e posição 3). Vamos contar quantas opções há em cada etapa:
- Para a primeira posição temos
opções (qualquer dígito de a ). - Como não pode haver repetição, depois de escolher o primeiro dígito sobraram
dígitos possíveis para a segunda posição. - Depois de escolher os dois primeiros, sobraram
dígitos possíveis para a terceira posição.
Portanto, pelo princípio do produto, o número total de senhas é o produto desses números.
Passo 3
Escrevendo esse produto em forma matemática:
Agora explico uma forma mais compacta usando permutações: o número de maneiras de escolher e ordenar
elementos distintos a partir de um conjunto com
elementos (sem repetição) é dado por
onde
(lê-se “n fatorial”) é definido por
e representa o produto de todos os inteiros positivos até
. No nosso caso
e
, então
Passo 4
Simplificando a expressão com fatoriais:
Agora calculamos passo a passo (do jeitinho que dá pra fazer sem calculadora):
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: o resultado
significa que, escolhendo um dígito para a primeira posição (10 maneiras), depois outro diferente para a segunda (9 maneiras) e outro diferente para a terceira (8 maneiras), temos
sequências distintas. Isso considera senhas como sequências ordenadas — por exemplo,
é diferente de
— e permite zeros na primeira posição, conforme o enunciado.