Em uma senha de 3 dígitos feita com os números de 0 a 9 , sem repetição:
(a) Quantas senhas diferentes podem ser criadas?

Passo 1

O enunciado pede: “Em uma senha de 3 dígitos feita com os números de 0 a 9, sem repetição: (a) Quantas senhas diferentes podem ser criadas?”\n
Informações dadas:
  • Temos os dígitos disponíveis 0,1,2,\dots,9, ou seja, 10 dígitos no total.
  • A senha tem exatamente 3 posições (é uma sequência de três dígitos).
  • Não é permitida a repetição de dígitos (cada dígito usado só pode aparecer uma vez na senha).
  • Não há restrição explícita sobre o primeiro dígito (logo, o zero pode ser usado na primeira posição — trata-se de uma sequência, não de um número que precise ter três dígitos não nulos).
O que se pergunta:
  • Quantas senhas distintas (sequências de três dígitos) podem ser formadas sob essas condições?

Passo 2

Entendendo o princípio básico de contagem (regra do produto): quando queremos formar uma sequência de escolhas em etapas sucessivas e o número de opções de cada etapa não depende das escolhas futuras além das eliminadas pelas restrições já impostas, o número total de sequências possíveis é o produto do número de opções em cada etapa.
Aqui temos três etapas (posição 1, posição 2 e posição 3). Vamos contar quantas opções há em cada etapa:
  • Para a primeira posição temos 10 opções (qualquer dígito de 0 a 9).
  • Como não pode haver repetição, depois de escolher o primeiro dígito sobraram 9 dígitos possíveis para a segunda posição.
  • Depois de escolher os dois primeiros, sobraram 8 dígitos possíveis para a terceira posição.
Portanto, pelo princípio do produto, o número total de senhas é o produto desses números.

Passo 3

Escrevendo esse produto em forma matemática:
10 \times 9 \times 8
Agora explico uma forma mais compacta usando permutações: o número de maneiras de escolher e ordenar k elementos distintos a partir de um conjunto com n elementos (sem repetição) é dado por
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é definido por
n! = n\,(n-1)\,(n-2)\cdots 2\cdot 1,
e representa o produto de todos os inteiros positivos até n. No nosso caso n=10 e k=3, então
P(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}.

Passo 4

Simplificando a expressão com fatoriais:
\frac{10!}{7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7!}{7!}=10\cdot 9\cdot 8.
Agora calculamos passo a passo (do jeitinho que dá pra fazer sem calculadora):
10\cdot 9 = 90,
90\cdot 8 = 720.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: o resultado 720 significa que, escolhendo um dígito para a primeira posição (10 maneiras), depois outro diferente para a segunda (9 maneiras) e outro diferente para a terceira (8 maneiras), temos 10\cdot9\cdot8=720 sequências distintas. Isso considera senhas como sequências ordenadas — por exemplo, 012 é diferente de 210 — e permite zeros na primeira posição, conforme o enunciado.

Resposta

720

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