De quantas maneiras diferentes podemos organizar as letras da palavra COCO ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quantas maneiras diferentes podemos organizar as letras da palavra COCO?”
Informações dadas: a palavra tem 4 letras no total — duas letras \text{C} e duas letras \text{O}.
O que se pede: o número de arranjos diferentes (sequências de 4 letras) que podem ser formados usando exatamente essas letras.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): se todas as n letras fossem distintas, o número de permutações seria \;n!\;, onde
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1,
porque temos n escolhas para a primeira posição, n-1 para a segunda, e assim por diante.
Quando há letras repetidas, permutar entre si letras idênticas não cria uma nova sequência distinta, então precisamos dividir por \;n_i!\; para cada grupo de n_i letras idênticas. Isso leva à fórmula geral para permutações de um multiconjunto:
\text{número de permutações distintas}=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!},úçõ
onde \;n\; é o total de objetos e \;n_1,n_2,\dots,n_k\; são as multiplicidades de cada tipo de objeto idêntico.
Um modo intuitivo de ver por que dividir: as n_1 letras idênticas podem ser rearranjadas entre si de n_1! maneiras sem alterar a sequência visível; portanto essas permutações estão sendo contadas n_1! vezes no n!, então dividimos por isso (e assim sucessivamente para cada letra repetida).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: \;n=4\; (quatro letras no total), com \;n_{\text{C}}=2\; e \;n_{\text{O}}=2. Portanto
\frac{4!}{2!\,2!}.
Calculemos passo a passo: \;4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24\; e \;2! = 2. Assim
\frac{4!}{2!\,2!} = \frac{24}{2\cdot2} = \frac{24}{4} = 6.

Passo 4

Jeito alternativo (mesma conclusão, ajuda a entender): escolha as posições das duas letras \text{C} entre as 4 posições disponíveis. O número de maneiras de escolher 2 posições dentre 4 é o coeficiente binomial
\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = 6,
e depois que as posições das \text{C} estão fixas, as \text{O} ocupam naturalmente as demais posições. Isso dá o mesmo resultado e às vezes é mais intuitivo em prova.

Passo 5

Para ficar bem concreto, aqui estão as 6 permutações distintas (listei todas):
CCOO
COCO
COOC
OCCO
OCOC
OOCC

Resposta

\;6\;

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