De quantas maneiras diferentes podemos organizar as letras da palavra COCO ?
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quantas maneiras diferentes podemos organizar as letras da palavra COCO?”
Informações dadas: a palavra tem 4 letras no total — duas letras e duas letras
.
O que se pede: o número de arranjos diferentes (sequências de 4 letras) que podem ser formados usando exatamente essas letras.
Informações dadas: a palavra tem 4 letras no total — duas letras
O que se pede: o número de arranjos diferentes (sequências de 4 letras) que podem ser formados usando exatamente essas letras.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): se todas as
letras fossem distintas, o número de permutações seria
, onde
porque temos
escolhas para a primeira posição,
para a segunda, e assim por diante.
Quando há letras repetidas, permutar entre si letras idênticas não cria uma nova sequência distinta, então precisamos dividir por para cada grupo de
letras idênticas. Isso leva à fórmula geral para permutações de um multiconjunto:
Quando há letras repetidas, permutar entre si letras idênticas não cria uma nova sequência distinta, então precisamos dividir por
onde
é o total de objetos e
são as multiplicidades de cada tipo de objeto idêntico.
Um modo intuitivo de ver por que dividir: as letras idênticas podem ser rearranjadas entre si de
maneiras sem alterar a sequência visível; portanto essas permutações estão sendo contadas
vezes no
, então dividimos por isso (e assim sucessivamente para cada letra repetida).
Um modo intuitivo de ver por que dividir: as
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
(quatro letras no total), com
e
. Portanto
Calculemos passo a passo:
e
. Assim
Passo 4
Jeito alternativo (mesma conclusão, ajuda a entender): escolha as posições das duas letras
entre as 4 posições disponíveis. O número de maneiras de escolher 2 posições dentre 4 é o coeficiente binomial
e depois que as posições das
estão fixas, as
ocupam naturalmente as demais posições. Isso dá o mesmo resultado e às vezes é mais intuitivo em prova.
Passo 5
Para ficar bem concreto, aqui estão as
permutações distintas (listei todas):
CCOO
COCO
COOC
OCCO
OCOC
OOCC
CCOO
COCO
COOC
OCCO
OCOC
OOCC