Quantas “palavras” distintas de 5 letras podem ser formadas com as letras da palavra RUMOS (sem repetição)?

Passo 1

O enunciado pergunta: Quantas “palavras” distintas de 5 letras podem ser formadas com as letras da palavra \text{RUMOS} sem repetição?
Informações dadas e pedidos (lista clara):
  • Letras disponíveis: R, U, M, O, S (ou seja, 5 letras distintas).
  • Queremos formar “palavras” de comprimento 5 usando exatamente essas letras.
  • Não é permitida repetição de letras.
  • Pedido: contar quantas sequências distintas (ordenações) de 5 letras são possíveis.

Passo 2

Vamos entender a ideia básica de contagem que vamos usar (explicação didática).
Princípio multiplicativo (ou princípio fundamental da contagem): se uma tarefa é feita em etapas e a primeira etapa pode ser feita de a maneiras, e para cada escolha da primeira a segunda pode ser feita de b maneiras, então o total de maneiras de fazer as duas etapas é a\cdot b. Isso se estende a várias etapas: multiplicamos o número de opções de cada etapa.
No nosso caso cada “etapa” é escolher a letra para uma posição da palavra (1.ª, 2.ª, …, 5.ª). Como não permitimos repetição, o número de opções diminui a cada etapa.
Também é útil conhecer o fatorial: para um inteiro não-negativo n, define-se
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Isto conta o número de maneiras de ordenar n objetos distintos (as chamadas permutações de todos os n elementos).

Passo 3

Aplicando o princípio multiplicativo ao problema:
  • Para a 1.ª posição da palavra temos 5 escolhas (qualquer uma das letras R,U,M,O,S).
  • Depois de escolher a 1.ª letra, para a 2.ª posição restam 4 letras disponíveis, então 4 escolhas.
  • Para a 3.ª posição restam 3 escolhas.
  • Para a 4.ª posição restam 2 escolhas.
  • Para a 5.ª posição restará 1 escolha.
    Pelo princípio multiplicativo multiplicamos todas essas quantidades:
5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.

Passo 4

Calculemos o produto e relacionemos ao fatorial:
5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120.
Isso também pode ser escrito como 5!, isto é, o fatorial de 5. A interpretação é: existem 5! permutações das 5 letras distintas, ou seja, 5! palavras diferentes de 5 letras sem repetição.

Passo 5

Resumo intuitivo e um exemplo rápido para fixar: estamos apenas contando todas as ordens possíveis das letras R,U,M,O,S. Cada ordem diferente é uma “palavra” diferente. Exemplos de algumas palavras que entram na contagem: \text{RUMOS}, \text{RUMSO}, \text{ORMUS}, etc. No total há 120 delas — anota aí para a prova: ordenar 5 elementos distintos dá 5! maneiras. Força aí — dá pra decorar e aplicar direto!

Resposta

120

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