Quantas “palavras” distintas de 5 letras podem ser formadas com as letras da palavra RUMOS (sem repetição)?
Passo 1
O enunciado pergunta: Quantas “palavras” distintas de
letras podem ser formadas com as letras da palavra
sem repetição?
Informações dadas e pedidos (lista clara):
Informações dadas e pedidos (lista clara):
- Letras disponíveis:
(ou seja, letras distintas). - Queremos formar “palavras” de comprimento
usando exatamente essas letras. - Não é permitida repetição de letras.
- Pedido: contar quantas sequências distintas (ordenações) de
letras são possíveis.
Passo 2
Vamos entender a ideia básica de contagem que vamos usar (explicação didática).
Princípio multiplicativo (ou princípio fundamental da contagem): se uma tarefa é feita em etapas e a primeira etapa pode ser feita de maneiras, e para cada escolha da primeira a segunda pode ser feita de
maneiras, então o total de maneiras de fazer as duas etapas é
. Isso se estende a várias etapas: multiplicamos o número de opções de cada etapa.
No nosso caso cada “etapa” é escolher a letra para uma posição da palavra (1.ª, 2.ª, …, 5.ª). Como não permitimos repetição, o número de opções diminui a cada etapa.
Princípio multiplicativo (ou princípio fundamental da contagem): se uma tarefa é feita em etapas e a primeira etapa pode ser feita de
No nosso caso cada “etapa” é escolher a letra para uma posição da palavra (1.ª, 2.ª, …, 5.ª). Como não permitimos repetição, o número de opções diminui a cada etapa.
Também é útil conhecer o fatorial: para um inteiro não-negativo
, define-se
Isto conta o número de maneiras de ordenar
objetos distintos (as chamadas permutações de todos os
elementos).
Passo 3
Aplicando o princípio multiplicativo ao problema:
- Para a 1.ª posição da palavra temos
escolhas (qualquer uma das letras ). - Depois de escolher a 1.ª letra, para a 2.ª posição restam
letras disponíveis, então escolhas. - Para a 3.ª posição restam
escolhas. - Para a 4.ª posição restam
escolhas. - Para a 5.ª posição restará
escolha.
Pelo princípio multiplicativo multiplicamos todas essas quantidades:
Passo 4
Calculemos o produto e relacionemos ao fatorial:
Isso também pode ser escrito como
, isto é, o fatorial de
. A interpretação é: existem
permutações das
letras distintas, ou seja,
palavras diferentes de
letras sem repetição.
Passo 5
Resumo intuitivo e um exemplo rápido para fixar: estamos apenas contando todas as ordens possíveis das letras
. Cada ordem diferente é uma “palavra” diferente. Exemplos de algumas palavras que entram na contagem:
,
,
, etc. No total há
delas — anota aí para a prova: ordenar
elementos distintos dá
maneiras. Força aí — dá pra decorar e aplicar direto!