Quantas permutações distintas podem ser feitas com as letras da palavra MASSA?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantas permutações distintas podem ser feitas com as letras da palavra MASSA?”\n
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar:\n
  • A palavra tem 5 letras no total.
  • As letras são M, A, S, S, A.
  • A letra M aparece 1 vez, a letra A aparece 2 vezes e a letra S aparece 2 vezes.

Passo 2

Entendendo o problema (idéia principal).\n
Se todas as letras fossem diferentes, o número de permutações seria simplesmente 5! (lê-se “5 fatorial”), porque para a primeira posição temos 5 escolhas, para a segunda 4, e assim por diante. Vamos explicar rapidamente o que é fatorial:
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Por exemplo, 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.\n
Porém aqui temos letras repetidas: trocar duas letras idênticas não gera uma nova permutação distinta. Para corrigir isso, usamos a fórmula para permutações de um multiconjunto (itens com repetições):
\text{número de permutações distintas} = \frac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots\,n_k!},úçõ
onde n é o total de itens e cada n_i é a multiplicidade de um tipo repetido. A razão é que, para cada arranjo contado em n!, as permutações internas entre os n_i elementos idênticos não geram arranjos novos, então dividimos por n_i! para eliminar essas repetições.\n
Exemplo pequeno para intuir: para a palavra “ABA” temos n=3, com A aparecendo 2 vezes e B 1 vez. A fórmula dá \dfrac{3!}{2!1!}=\dfrac{6}{2}=3, e as permutações distintas são “AAB”, “ABA”, “BAA”.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Temos n=5, com multiplicidades n_M=1, n_A=2, n_S=2. Portanto:
\text{permutações}=\frac{5!}{1!\,2!\,2!}.çõ

Passo 4

Calculemos cada fatorial passo a passo, sem pular etapas:\n
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120,
2! = 2\cdot1 = 2,
1! = 1.
Então o denominador é 1!\cdot2!\cdot2! = 1\cdot2\cdot2 = 4. Agora dividimos:
\frac{5!}{1!\,2!\,2!}=\frac{120}{4}=30.

Passo 5

Interpretação final e dica para prova.\n
O resultado significa que existem 30 palavras diferentes que podemos formar rearranjando as letras de “MASSA”. Uma dica rápida para provas: conte sempre o total n e as multiplicidades de cada letra repetida; depois aplique a fórmula \dfrac{n!}{\prod n_i!}. Se as multiplicidades forem grandes, simplifique fatorando antes de multiplicar para evitar números enormes.

Resposta

30

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