Quantas permutações distintas podem ser feitas com as letras da palavra MASSA?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quantas permutações distintas podem ser feitas com as letras da palavra MASSA?”\n
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar:\n
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar:\n
- A palavra tem
letras no total. - As letras são
, , , , . - A letra
aparece vez, a letra aparece vezes e a letra aparece vezes.
Passo 2
Entendendo o problema (idéia principal).\n
Se todas as letras fossem diferentes, o número de permutações seria simplesmente (lê-se “5 fatorial”), porque para a primeira posição temos
escolhas, para a segunda
, e assim por diante. Vamos explicar rapidamente o que é fatorial:
Se todas as letras fossem diferentes, o número de permutações seria simplesmente
Por exemplo,
.\n
Porém aqui temos letras repetidas: trocar duas letras idênticas não gera uma nova permutação distinta. Para corrigir isso, usamos a fórmula para permutações de um multiconjunto (itens com repetições):
Porém aqui temos letras repetidas: trocar duas letras idênticas não gera uma nova permutação distinta. Para corrigir isso, usamos a fórmula para permutações de um multiconjunto (itens com repetições):
onde
é o total de itens e cada
é a multiplicidade de um tipo repetido. A razão é que, para cada arranjo contado em
, as permutações internas entre os
elementos idênticos não geram arranjos novos, então dividimos por
para eliminar essas repetições.\n
Exemplo pequeno para intuir: para a palavra “ABA” temos , com
aparecendo
vezes e
vez. A fórmula dá
, e as permutações distintas são “AAB”, “ABA”, “BAA”.
Exemplo pequeno para intuir: para a palavra “ABA” temos
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Temos
, com multiplicidades
,
,
. Portanto:
Passo 4
Calculemos cada fatorial passo a passo, sem pular etapas:\n
Então o denominador é
. Agora dividimos:
Passo 5
Interpretação final e dica para prova.\n
O resultado significa que existem palavras diferentes que podemos formar rearranjando as letras de “MASSA”. Uma dica rápida para provas: conte sempre o total
e as multiplicidades de cada letra repetida; depois aplique a fórmula
. Se as multiplicidades forem grandes, simplifique fatorando antes de multiplicar para evitar números enormes.
O resultado significa que existem