A esposa de um matemático pede para ele comprar pães, e a quantidade de pães a ser comprada está escrita em um bilhete que ela entrega a ele. Ao chegar na padaria, o matemático abre o bilhete e está escrito:
Quantidade de pães =
2 \times \sqrt[3]{(\sqrt{0,6666 \ldots} \times \sqrt{0,4444 \ldots} \times \sqrt{0,2222 \ldots}) \times 18 \sqrt{3}}
Qual a quantidade de pães que a esposa do matemático pediu para ele comprar?
Alternativas
A) 2
B) 4
C) 6

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de pães dada pela expressão do bilhete. As informações relevantes são:
\text{Quantidade de pães} = 2 \times \sqrt[3]{\bigl(\sqrt{0,6666\ldots}\times\sqrt{0,4444\ldots}\times\sqrt{0,2222\ldots}\bigr)\times 18\sqrt{3}}ã
As alternativas dadas são:
A) 2
B) 4
C) 6
Vou calcular passo a passo essa expressão para descobrir qual alternativa é correta.

Passo 2

Primeiro, converto cada decimal periódico em fração (isso facilita muito trabalhar com raízes). Para um decimal periódico simples como 0,6666\ldots (ou seja, 0,\overline{6}), faço:
x = 0,6666\ldots
Multiplico por 10 (porque o período tem 1 dígito) e subtraio:
10x - x = 6 \implies 9x = 6 \implies x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.
Portanto 0,6666\ldots = \frac{2}{3}.
Agora 0,4444\ldots:
y = 0,4444\ldots
10y - y = 4 \implies 9y = 4 \implies y = \frac{4}{9}.
Portanto 0,4444\ldots = \frac{4}{9}.
E 0,2222\ldots:
z = 0,2222\ldots
10z - z = 2 \implies 9z = 2 \implies z = \frac{2}{9}.
Portanto 0,2222\ldots = \frac{2}{9}.

Passo 3

Agora substituo essas frações dentro das raízes quadradas:
\sqrt{0,6666\ldots} = \sqrt{\frac{2}{3}}, \qquad \sqrt{0,4444\ldots} = \sqrt{\frac{4}{9}}, \qquad \sqrt{0,2222\ldots} = \sqrt{\frac{2}{9}}.
Explico rapidinho as simplificações possíveis: \sqrt{\tfrac{4}{9}} = \tfrac{2}{3} porque \sqrt{4}=2 e \sqrt{9}=3. Já \sqrt{\tfrac{2}{9}} = \tfrac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

Multiplico as três raízes (faça assim na prova: agrupe raízes para simplificar):
\sqrt{\frac{2}{3}}\times\sqrt{\frac{4}{9}}\times\sqrt{\frac{2}{9}}
Substituindo a simplificação da segunda e terceira:
= \sqrt{\frac{2}{3}}\times\frac{2}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{3}.
Agora agrupo os termos com raízes e os racionais:
= \frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\sqrt{\frac{2}{3}\times 2}
Mas é mais direto combinar \sqrt{\tfrac{2}{3}} e \tfrac{\sqrt{2}}{3} como:
\sqrt{\frac{2}{3}}\times\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}\cdot 2}}{3} = \frac{\sqrt{\frac{4}{3}}}{3}.
Entretanto, vou fazer a conta de forma limpa multiplicando sob uma única raiz onde for conveniente:
\sqrt{\frac{2}{3}}\times\sqrt{\frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{4}{27}} = \frac{2}{\sqrt{27}}.
Então
\sqrt{\frac{2}{3}}\times\sqrt{\frac{4}{9}}\times\sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{2}{3}\times\frac{2}{\sqrt{27}}.
Lembrando que \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}, temos
\frac{2}{3}\times\frac{2}{\sqrt{27}} = \frac{2}{3}\times\frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{9\sqrt{3}}.
Portanto o produto das três raízes é \displaystyle \frac{4}{9\sqrt{3}}.

Passo 5

Agora volto à expressão inteira dentro da raiz cúbica: multiplico esse produto por 18\sqrt{3}:
\left(\frac{4}{9\sqrt{3}}\right)\times 18\sqrt{3}.
Faço cancelamentos: \sqrt{3} no numerador e denominador se cancelam, e 18/9=2. Assim
\left(\frac{4}{9\sqrt{3}}\right)\times 18\sqrt{3} = 4 \times \frac{18}{9} = 4 \times 2 = 8.
Então o que está dentro da raiz cúbica é 8.

Passo 6

Agora calculo a raiz cúbica de 8 e multiplico pelo 2 que estava fora:
\sqrt[3]{8} = 2,
porque 2^3 = 8. Então
2 \times \sqrt[3]{8} = 2 \times 2 = 4.

Resposta

B) 4

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