O tempo de vida de um tipo específico de componente eletrônico é modelado por uma distribuição normal com média de 1000 horas e desvio padrão de 100 horas.
Determine o tempo de vida abaixo do qual 5 \% dos componentes irão falhar.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O tempo de vida X dos componentes segue uma distribuição normal com média \mu = 1000 horas e desvio padrão \sigma = 100 horas.
  • A pergunta pede: determinar o tempo de vida x abaixo do qual 5\% dos componentes irão falhar. Em símbolos, encontrar x tal que \Pr(X < x) = 0,05.

Passo 2

Entendendo a ideia (percentil de uma normal).
  • Quando dizemos que queremos o valor abaixo do qual 5\% caem, estamos pedindo o 5\%-ésimo percentil da distribuição de X.
  • Se X \sim N(\mu,\sigma^2), podemos transformar para a normal padrão Z usando a padronização:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição N(0,1) (média 0 e desvio padrão 1).

Passo 3

Escrevendo a equação em termos de Z.
\Pr(X < x) = 0,05
fazendo a mudança de variável,
\Pr\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma} < \frac{x-\mu}{\sigma}\right) = 0,05
ou seja
\Pr\!\left(Z < \frac{x-\mu}{\sigma}\right) = 0,05.
Portanto precisamos encontrar o quantil z_{0,05} da normal padrão tal que \Pr(Z < z_{0,05}) = 0,05.

Passo 4

Obter o valor de z_{0,05}.
  • Usando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística, o quantil de 0,05 é aproximadamente
z_{0,05} \approx -1{,}645
(mais precisamente z_{0,05}\approx -1{,}64485, mas -1{,}645 é o valor usualmente adotado).

Passo 5

Voltar para x usando a relação inversa.
A partir de \dfrac{x-\mu}{\sigma} = z_{0,05} temos
x = \mu + z_{0,05}\,\sigma.
Substituindo \mu=1000, \sigma=100 e z_{0,05}\approx -1{,}645,
x = 1000 + (-1{,}645)\cdot 100 = 1000 - 164{,}5 = 835{,}5\\ \text{horas}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento.
  • Isso significa que aproximadamente 5\% dos componentes falharão antes de 835{,}5 horas.
  • Em contexto de prova, pode-se apresentar 835{,}5 horas ou arredondar para 836 horas, dependendo do critério pedido.

Resposta

835{,}5\\ \text{horas}

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