Um sensor industrial registra leituras defeituosas com probabilidade de 0,15 . Suponha que 12 leituras foram registradas.
Qual é a probabilidade de que exatamente 4 leituras sejam defeituosas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A probabilidade de uma leitura ser defeituosa é p=0,15.
  • O número total de leituras registradas é n=12.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que exatamente 4 leituras sejam defeituosas?

Passo 2

Motivação e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Temos n=12 ensaios independentes, cada um com dois resultados possíveis (defeituosa ou não defeituosa) e mesma probabilidade p de sucesso (aqui “sucesso” = ser defeituosa). Esse é o caso clássico da distribuição binomial.
  • Seja X a variável aleatória que conta o número de leituras defeituosas. Então X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p, que escrevemos X\sim\mathrm{Bin}(n,p).
  • A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n ensaios é
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
  • Aqui:
    • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios serão os sucessos (combinação),
    • p^{k} é a probabilidade de esses k específicos serem todos sucessos,
    • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de os restantes n-k serem falhas.
  • No nosso problema, queremos k=4, n=12, p=0,15. Portanto aplicamos a fórmula com esses valores.

Passo 3

Calcular o coeficiente binomial \binom{12}{4} (explicando como se calcula):
  • A definição por fatoriais é
\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,(12-4)!}=\frac{12!}{4!\,8!}.
  • Para simplificar sem calcular fatoriais enormes, podemos cancelar termos:
\binom{12}{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
  • Calculando:
    • 12\cdot11\cdot10\cdot9=11880,
    • 4\cdot3\cdot2\cdot1=24,
    • portanto \binom{12}{4}=\dfrac{11880}{24}=495.

Passo 4

Calcular p^{4} (mostrando um jeito exato):
  • Temos p=0,15=\dfrac{15}{100}=\dfrac{3}{20}.
  • Então
p^{4}=\left(\frac{3}{20}\right)^{4}=\frac{3^{4}}{20^{4}}=\frac{81}{160000}=0,00050625.

Passo 5

Calcular (1-p)^{8} por potências sucessivas (explicando o processo):
  • 1-p=0,85.
  • Calculando por quadratura sucessiva para evitar muitos multiplicações:
    • 0,85^{2}=0,7225.
    • 0,85^{4}=(0,85^{2})^{2}=0,7225^{2}=0,52200625.
    • 0,85^{8}=(0,85^{4})^{2}=0,52200625^{2}=0,272489\ldots
  • Vamos usar (1-p)^{8}\approx 0,272489 (arredondamento suficiente para a prova).

Passo 6

Juntar tudo na fórmula binomial e calcular passo a passo:
  • A fórmula dá
\mathbb{P}(X=4)=\binom{12}{4}\,p^{4}\,(1-p)^{8}.
  • Substituindo os valores que calculamos:
    • \binom{12}{4}=495,
    • p^{4}=0,00050625,
    • (1-p)^{8}\approx0,272489.
  • Primeiro calcule 495\cdot0,00050625:
495\cdot0,00050625=0,25059375.
  • Agora multiplique por 0,272489:
0,25059375\cdot0,272489\approx0,06828429.
  • Logo a probabilidade de exatamente 4 leituras defeituosas é aproximadamente 0,06828429, ou seja cerca de 6,828\%.

Passo 7

Interpretação final curta e dica para a prova:
  • A resposta numérica final é \approx0,06828. Em prova, se for permitido calculadora, aplique diretamente a fórmula binomial; se não, mostre o desenvolvimento com combinações e potências como fizemos. Respire fundo: problemas binomiais são sempre iguais na forma — uma vez decorada a fórmula e entendido o porquê, fica bem rápido.

Resposta

0,06828429 (aprox.)
6,828\% (aprox.)

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