Um sensor industrial registra leituras defeituosas com probabilidade de 0,15 . Suponha que 12 leituras foram registradas.
Qual é a probabilidade de que exatamente 4 leituras sejam defeituosas?
Qual é a probabilidade de que exatamente 4 leituras sejam defeituosas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A probabilidade de uma leitura ser defeituosa é
. - O número total de leituras registradas é
. - Pergunta: qual é a probabilidade de que exatamente
leituras sejam defeituosas?
Passo 2
Motivação e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Temos
ensaios independentes, cada um com dois resultados possíveis (defeituosa ou não defeituosa) e mesma probabilidade de sucesso (aqui “sucesso” = ser defeituosa). Esse é o caso clássico da distribuição binomial. - Seja
a variável aleatória que conta o número de leituras defeituosas. Então segue uma distribuição binomial com parâmetros e , que escrevemos . - A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos em ensaios é
- Aqui:
-
é o número de maneiras de escolher quais ensaios serão os sucessos (combinação), -
é a probabilidade de esses específicos serem todos sucessos, -
é a probabilidade de os restantes serem falhas.
-
- No nosso problema, queremos
, , . Portanto aplicamos a fórmula com esses valores.
Passo 3
Calcular o coeficiente binomial
(explicando como se calcula):
- A definição por fatoriais é
- Para simplificar sem calcular fatoriais enormes, podemos cancelar termos:
- Calculando:
-
, -
, - portanto
.
-
Passo 4
Calcular
(mostrando um jeito exato):
- Temos
. - Então
Passo 5
Calcular
por potências sucessivas (explicando o processo):
-
. - Calculando por quadratura sucessiva para evitar muitos multiplicações:
-
. -
. -
-
- Vamos usar
(arredondamento suficiente para a prova).
Passo 6
Juntar tudo na fórmula binomial e calcular passo a passo:
- A fórmula dá
- Substituindo os valores que calculamos:
-
, -
, -
.
-
- Primeiro calcule
:
- Agora multiplique por
:
- Logo a probabilidade de exatamente 4 leituras defeituosas é aproximadamente
, ou seja cerca de .
Passo 7
Interpretação final curta e dica para a prova:
- A resposta numérica final é
. Em prova, se for permitido calculadora, aplique diretamente a fórmula binomial; se não, mostre o desenvolvimento com combinações e potências como fizemos. Respire fundo: problemas binomiais são sempre iguais na forma — uma vez decorada a fórmula e entendido o porquê, fica bem rápido.