Quais das sentenças abaixo são verdadeiras? Explique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
. Esse conteúdo envolve a prova de que certos números são irracionais, e vamos usar o método de contradição, assumindo inicialmente que
seja racional.
Passo 2
Suponha que
com
inteiros coprimos (
). Elevando ao cubo, fica
, ou seja
, o que implica
. Dessa forma, o fator 2 divide
.
Passo 3
Como 2 divide
, podemos escrever
. Substituindo em
obtemos
, o que simplifica para
. Assim, 2 também divide
, o que contradiz a hipótese de que
e
são coprimos.
Passo 4
Chegamos a uma contradição porque assumimos que
, mas mostramos que 2 divide ambos. Logo,
não é racional e, portanto, é irracional, ou seja, pertence a
.
Resposta
A sentença é verdadeira:
.