Quais das sentenças abaixo são verdadeiras? Explique sua resposta.
raiz[3]4 in R-Q

Passo 1

O enunciado pede para verificar se raiz[3]4inR-Q. Esse conteúdo envolve a prova de que certos números são irracionais, e vamos usar o método de contradição, assumindo inicialmente que raiz[3]4 seja racional.

Passo 2

Suponha que raiz[3]4=pq com p,q inteiros coprimos ( gcd(p,q)=1). Elevando ao cubo, fica l(tfracpqr)^3=4, ou seja tfracp^3q^3=4, o que implica p^3=4q^3. Dessa forma, o fator 2 divide p.

Passo 3

Como 2 divide p, podemos escrever p=2k. Substituindo em p^3=4q^3 obtemos (2k)^3=8k^3=4q^3, o que simplifica para 2k^3=q^3. Assim, 2 também divide q, o que contradiz a hipótese de que p e q são coprimos.

Passo 4

Chegamos a uma contradição porque assumimos que gcd(p,q)=1, mas mostramos que 2 divide ambos. Logo, raiz[3]4 não é racional e, portanto, é irracional, ou seja, pertence a R-Q.

Resposta

A sentença é verdadeira: raiz[3]4inR-Q.

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