Quais das sentenças abaixo são verdadeiras? Explique sua resposta.
Passo 1
Temos a sentença
e queremos verificar se o conjunto dos inteiros é ou não subconjunto do conjunto dos reais. O conteúdo envolve teoria de conjuntos, mais precisamente a relação de inclusão (subconjunto).
Passo 2
Por definição, dizemos que um conjunto
é subconjunto de
(escrevemos
ou
) se todo elemento de
pertence também a
. Formalmente:
.
Passo 3
Sabemos que cada número inteiro é um número racional (isto é,
) e que todo número racional é também um número real (isto é,
). Usando a transitividade da inclusão de conjuntos, obtemos
,
opondo em evidência que todo elemento de está em
.
opondo em evidência que todo elemento de
Passo 4
Vale notar que aqui o símbolo
está sendo usado para indicar inclusão (não necessariamente própria). De qualquer forma, fica claro que
está contido em
.
Resposta
A sentença
é verdadeira, pois todo inteiro é também um número real.