- (2,0) (Unicamp-SP) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto
a um ponto
, cobrindo a distância
. Quando em
, ele avista um navio parado em
de tal maneira que o ângulo
é de
; e quando em
, verifica que o ângulo
é de
.
(a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
(b) Calcule a distância em que se encontra o navio da praia.
(a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
(b) Calcule a distância em que se encontra o navio da praia.
Passo 1
O enunciado descreve um caminhante que vai de
a
ao longo de um trecho de praia de comprimento
e observa um navio em
de modo que
em
e em
.
O que se pede:
(a) um esboço da configuração geométrica;
(b) a distância do navio à praia, ou seja, a altura do ponto
sobre a reta
.
Vamos usar trigonometria em triângulos, especialmente Lei dos Senos e definição de altura (projeção ortogonal).
e
O que se pede:
(a) um esboço da configuração geométrica;
(b) a distância
Vamos usar trigonometria em triângulos, especialmente Lei dos Senos e definição de altura (projeção ortogonal).
Passo 2
Para ilustrar, considere o triângulo
com
horizontal:
– Sobre , marque
à esquerda e
à direita, com
.
– Em , desenhe a rampa do segmento
formando
.
– Em , desenhe o segmento
formando
.
O ponto de interseção desses dois semirretas é .
Isso resolve o item (a).
– Sobre
– Em
– Em
O ponto de interseção desses dois semirretas é
Isso resolve o item (a).
Passo 3
No triângulo
, os ângulos internos somam
. Logo
Passo 4
Aplicando a Lei dos Senos em
:
Em particular,
, então
Passo 5
A distância
do navio à reta
é a altura relativa a
. Como em
o ângulo entre
e
é
, temos
Substituindo valores aproximados
,
,
, obtemos
Resposta
(a) Esboço do triângulo
com
horizontal,
e
.
(b) A distância do navio à praia é aproximadamente metros.
(b) A distância do navio à praia é aproximadamente