1. (2,0) (Unicamp-SP) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância A B=1.200 \mathrm{~m}. Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo N A B é de 60^{\circ}; e quando em B, verifica que o ângulo N B A é de 45^{0}.
    (a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
    (b) Calcule a distância em que se encontra o navio da praia.

Passo 1

O enunciado descreve um caminhante que vai de A a B ao longo de um trecho de praia de comprimento
AB = 1\,200\text{ m},
e observa um navio em N de modo que \angle N A B = 60^\circ em A
e \angle N B A = 45^\circ em B.
O que se pede:
(a) um esboço da configuração geométrica;
(b) a distância d do navio à praia, ou seja, a altura do ponto N sobre a reta AB.
Vamos usar trigonometria em triângulos, especialmente Lei dos Senos e definição de altura (projeção ortogonal).

Passo 2

Para ilustrar, considere o triângulo ABN com AB horizontal:
– Sobre AB, marque A à esquerda e B à direita, com AB=1\,200.
– Em A, desenhe a rampa do segmento AN formando \angle N A B = 60^\circ.
– Em B, desenhe o segmento BN formando \angle N B A = 45^\circ.
O ponto de interseção desses dois semirretas é N.
Isso resolve o item (a).

Passo 3

No triângulo ABN, os ângulos internos somam 180^\circ. Logo
\angle ANB = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ.

Passo 4

Aplicando a Lei dos Senos em ABN:
\frac{AB}{\sin(\angle ANB)} =\frac{AN}{\sin(\angle A B N)} =\frac{BN}{\sin(\angle N A B)}.
Em particular, \angle ABN=\angle N B A=45^\circ, então
AN = AB\;\frac{\sin45^\circ}{\sin75^\circ} =1\,200\;\frac{\sin45^\circ}{\sin75^\circ}.

Passo 5

A distância d do navio à reta AB é a altura relativa a AB. Como em A o ângulo entre AN e AB é 60^\circ, temos
d = AN\;\sin60^\circ =1\,200\;\frac{\sin45^\circ}{\sin75^\circ}\;\sin60^\circ.
Substituindo valores aproximados \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}, \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}, \sin75^\circ\approx0{,}9659, obtemos
d \approx 1\,200\;\frac{0{,}7071\times0{,}8660}{0{,}9659} \approx760\text{ m}.

Resposta

(a) Esboço do triângulo ABN com AB horizontal, \angle N A B=60^\circ e \angle N B A=45^\circ.
(b) A distância do navio à praia é aproximadamente 760 metros.

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