Para cada função
abaixo decida se ela é um homomorfismo de anéis com unidade. Justifique brevemente suas respostas e no caso em que
é um homomorfismo de anéis, determine o núcleo de
.
,
Passo 1
Enunciado: temos a função
definida por
.
O que o exercício pede:
O que o exercício pede:
- Decidir se
é um homomorfismo de anéis com unidade e justificar brevemente. - Se for homomorfismo de anéis, determinar o núcleo de
.
Informações dadas relevantes:
- Domínio: o anel
(polinômios com coeficientes racionais). - Contradomínio: o anel
(números racionais). - A regra é avaliação em
: a cada polinômio associa-se o número .
Passo 2
Recordando cuidadosamente o significado de “homomorfismo de anéis com unidade” (explicação passo a passo, sem pular etapas):
Uma aplicação entre anéis com unidade é um homomorfismo de anéis com unidade se satisfaz, para todos
:
Uma aplicação
-
(preserva adição). -
(preserva multiplicação). -
(leva a unidade do anel na unidade do anel ).
Vou verificar essas três propriedades para.
Passo 3
Verificação da preservação da adição: tomemos
. Então
Explicação: a soma de polinômios avaliada em
é a soma das avaliações; isto é imediato pela definição de adição de funções.
Passo 4
Verificação da preservação da multiplicação: para
,
Explicação: o produto de polinômios avaliado em
é o produto das avaliações.
Passo 5
Verificação da preservação da unidade: a unidade de
é o polinômio constante
. Avaliando em
,
e a unidade de
também é
. Logo
.
Passo 6
Conclusão provisória: como
preserva adição, multiplicação e leva a unidade em unidade,
é de fato um homomorfismo de anéis com unidade. (Podemos ainda notar, opcionalmente, que
é sobrejetora: para qualquer
o polinômio constante
satisfaz
.)
Passo 7
Agora determinar o núcleo de
. Definição: o núcleo é
Ou seja, são exatamente os polinômios que têm
como raiz.
Passo 8
Usar o Teorema do Resto (ou Divisibilidade de Polinômios): para qualquer
existe divisão por
com resto constante:
Avaliando em
obtemos
. Portanto
se e somente se
, isto é, se e somente se
divide
. Logo os polinômios que anulam em
são exatamente os múltiplos de
.
Passo 9
Conclusão sobre o núcleo: por Passo 8,
o ideal principal gerado por
em
. (Observação adicional: este ideal é maximal, então o quociente
é isomorfo a
, coerente com o fato de
ser avaliação em
e sobrejetora.)
Resposta
Sim,
é um homomorfismo de anéis com unidade.
.