Para cada função varphi abaixo decida se ela é um homomorfismo de anéis com unidade. Justifique brevemente suas respostas e no caso em que varphi é um homomorfismo de anéis, determine o núcleo de varphi.
\varphi: \mathbb{Q}[x] \rightarrow \mathbb{Q}: \quad p(x) \mapsto p(3),

Passo 1

Enunciado: temos a função \varphi:\mathbb{Q}[x]\to\mathbb{Q} definida por \varphi(p(x))=p(3).
O que o exercício pede:
  1. Decidir se \varphi é um homomorfismo de anéis com unidade e justificar brevemente.
  2. Se for homomorfismo de anéis, determinar o núcleo de \varphi.
Informações dadas relevantes:
  • Domínio: o anel \mathbb{Q}[x] (polinômios com coeficientes racionais).
  • Contradomínio: o anel \mathbb{Q} (números racionais).
  • A regra é avaliação em x=3: a cada polinômio p(x) associa-se o número p(3).

Passo 2

Recordando cuidadosamente o significado de “homomorfismo de anéis com unidade” (explicação passo a passo, sem pular etapas):
Uma aplicação \psi:R\to S entre anéis com unidade é um homomorfismo de anéis com unidade se satisfaz, para todos a,b\in R:
  1. \psi(a+b)=\psi(a)+\psi(b) (preserva adição).
  2. \psi(a\cdot b)=\psi(a)\cdot\psi(b) (preserva multiplicação).
  3. \psi(1_R)=1_S (leva a unidade do anel R na unidade do anel S).
    Vou verificar essas três propriedades para \varphi.

Passo 3

Verificação da preservação da adição: tomemos p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x]. Então
\varphi(p+q)=(p+q)(3)=p(3)+q(3)=\varphi(p)+\varphi(q).
Explicação: a soma de polinômios avaliada em 3 é a soma das avaliações; isto é imediato pela definição de adição de funções.

Passo 4

Verificação da preservação da multiplicação: para p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x],
\varphi(p\cdot q)=(p\cdot q)(3)=p(3)\cdot q(3)=\varphi(p)\cdot\varphi(q).
Explicação: o produto de polinômios avaliado em 3 é o produto das avaliações.

Passo 5

Verificação da preservação da unidade: a unidade de \mathbb{Q}[x] é o polinômio constante 1. Avaliando em 3,
\varphi(1)=1(3)=1,
e a unidade de \mathbb{Q} também é 1. Logo \varphi(1_{\mathbb{Q}[x]})=1_{\mathbb{Q}}.

Passo 6

Conclusão provisória: como \varphi preserva adição, multiplicação e leva a unidade em unidade, \varphi é de fato um homomorfismo de anéis com unidade. (Podemos ainda notar, opcionalmente, que \varphi é sobrejetora: para qualquer q\in\mathbb{Q} o polinômio constante p(x)=q satisfaz \varphi(p)=q.)

Passo 7

Agora determinar o núcleo de \varphi. Definição: o núcleo é
\ker\varphi=\{p(x)\in\mathbb{Q}[x]\mid \varphi(p)=0\}=\{p(x)\in\mathbb{Q}[x]\mid p(3)=0\}.
Ou seja, são exatamente os polinômios que têm x=3 como raiz.

Passo 8

Usar o Teorema do Resto (ou Divisibilidade de Polinômios): para qualquer p(x)\in\mathbb{Q}[x] existe divisão por x-3 com resto constante:
p(x)=(x-3)q(x)+r,\qquad q(x)\in\mathbb{Q}[x],\; r\in\mathbb{Q}.
Avaliando em x=3 obtemos p(3)=r. Portanto p(3)=0 se e somente se r=0, isto é, se e somente se x-3 divide p(x). Logo os polinômios que anulam em 3 são exatamente os múltiplos de x-3.

Passo 9

Conclusão sobre o núcleo: por Passo 8,
\ker\varphi=\{(x-3)q(x)\mid q(x)\in\mathbb{Q}[x]\}=(x-3),
o ideal principal gerado por x-3 em \mathbb{Q}[x]. (Observação adicional: este ideal é maximal, então o quociente \mathbb{Q}[x]/\ker\varphi é isomorfo a \mathbb{Q}, coerente com o fato de \varphi ser avaliação em 3 e sobrejetora.)

Resposta

Sim, \varphi é um homomorfismo de anéis com unidade.
\ker\varphi=(x-3).

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