Para a sequência
, onde
, verifique que:
(a)
;
(b) usando o item (a) e o Teorema do Confronto, mostre que
;
(c) use o item (b) para mostrar que
.
(a)
(b) usando o item (a) e o Teorema do Confronto, mostre que
(c) use o item (b) para mostrar que
Passo 1
O enunciado define a sequência
com
, e pede:
(α) mostrar que ;
(β) usar isso e o Teorema do Confronto para concluir que ;
(γ) então provar que .
(α) mostrar que
(β) usar isso e o Teorema do Confronto para concluir que
(γ) então provar que
Passo 2
Como
, ao elevarmos à potência
obtemos
Somando 1 a cada parte dá
que é exatamente o que se pedia em (α).
Passo 3
A função
é crescente em
. Aplicando-a na desigualdade
mantém-se o sentido, logo
Passo 4
Sabemos que
Pelo Teorema do Confronto segue-se
resolvendo o item (β).
Passo 5
Para tratar
, note que
então
Como já vimos que
, conclui-se
que é o item (γ).
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)