Para a sequência \sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^{n}+1}, onde 0<a<b, verifique que:
(a) 1<\left(\frac{a}{b}\right)^{n}+1<2;
(b) usando o item (a) e o Teorema do Confronto, mostre que \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^{n}+1}=1;
(c) use o item (b) para mostrar que \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=b.

Passo 1

O enunciado define a sequência
s_n = \sqrt[n]{\Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^{n} + 1}
com 0<a<b, e pede:
(α) mostrar que 1<\bigl(\frac{a}{b}\bigr)^{n}+1<2;
(β) usar isso e o Teorema do Confronto para concluir que \lim_{n\to\infty}s_n=1;
(γ) então provar que \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}=b.

Passo 2

Como 0<\frac{a}{b}<1, ao elevarmos à potência n obtemos
0<\Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^{n}<1.
Somando 1 a cada parte dá
1<\Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^{n}+1<2,
que é exatamente o que se pedia em (α).

Passo 3

A função x\mapsto x^{1/n} é crescente em (0,\infty). Aplicando-a na desigualdade
1<\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr)^{n}+1<2
mantém-se o sentido, logo
1 < \sqrt[n]{\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr)^{n}+1} < \sqrt[n]{2} = 2^{1/n}.

Passo 4

Sabemos que
\lim_{n\to\infty}1 = 1 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}2^{1/n} = 1.
Pelo Teorema do Confronto segue-se
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr)^{n}+1} = 1,
resolvendo o item (β).

Passo 5

Para tratar \sqrt[n]{a^n + b^n}, note que
a^n + b^n = b^n\Bigl[\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{n}+1\Bigr],
então
\sqrt[n]{a^n + b^n} = \sqrt[n]{b^n}\;\sqrt[n]{\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{n}+1} = b\;\sqrt[n]{\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{n}+1}.
Como já vimos que \sqrt[n]{(\tfrac{a}{b})^{n}+1}\to1, conclui-se
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n + b^n} = b,
que é o item (γ).

Resposta

(a) 1<\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{n}+1<2.
(b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{n}+1}=1.
(c) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n + b^n}=b.

Exercícios relacionados