Exercício 5: Outro modelo matemático famoso onde a Lei da Ação das Massas aparece são as Equações de Lotka-Volterra, também conhecidas como Sistema Predador-Presa:
Interprete e explique o que cada termo do sistema de equações quer dizer e quais são os significados dos parâmetros \alpha, \beta, \gamma e \delta.
Passo 1
O enunciado apresenta o famoso sistema predador-presa de Lotka-Volterra, que modela a interação entre uma população de presas, cuja densidade chamamos de s(t), e uma população de predadores, cuja densidade chamamos de m(t). As equações são
\frac{ds}{dt} = \alpha\,s - \beta\,s\,m,
\frac{dm}{dt} = \gamma\,s\,m - \delta\,m.
O conteúdo envolvido são equações diferenciais ordinárias e a Lei da Ação das Massas, que diz que a taxa de uma reação (ou encontro) é proporcional ao produto das concentrações (ou densidades) dos reagentes. Precisamos interpretar cada termo dessas equações e explicar o papel de \alpha, \beta, \gamma e \delta.
o termo \alpha\,s representa o crescimento exponencial das presas quando não há predadores (taxa de nascimento líquida). Já o termo \beta\,s\,m vem da Lei da Ação das Massas: a frequência de encontros predador-presa é proporcional a s vezes m, e cada encontro leva à morte de uma presa, com coeficiente \beta.
Passo 3
Na equação dos predadores
\frac{dm}{dt} = \underbrace{\gamma\,s\,m}_{\substack{\text{ganho de novos}\\text{predadores}}} \;-\;\underbrace{\delta\,m}_{\text{mortalidade}},
o termo \gamma\,s\,m também segue a Lei da Ação das Massas: os encontros s\,m geram energia/recursos que permitem a reprodução dos predadores, com eficiência \gamma. O termo \delta\,m descreve a morte natural dos predadores na ausência de presas, proporcional à sua população, com taxa \delta.
Passo 4
O significado dos parâmetros é o seguinte: \alpha é a taxa de crescimento natural das presas (taxa de nascimentos líquida). \beta é o coeficiente de predação, isto é, a eficácia com que predadores encontram e consomem presas. \gamma é a eficiência de conversão de presas consumidas em novos predadores (reprodução). \delta é a taxa de mortalidade natural dos predadores na falta de alimento.
Resposta
\alpha: taxa intrínseca de crescimento das presas. \beta: coeficiente de predação (encontros que levam à morte das presas). \gamma: eficiência de conversão de presas consumidas em reprodução de predadores. \delta: taxa de mortalidade natural dos predadores.