Responda Verdadeiro ou Falso nos itens abaixo, justificando sua resposta.
A soma da série \sum_{n=0}^{\infty}(-8)^{n} 4^{1-n} é \frac{4}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-8)^{n}\,4^{1-n}
tem soma igual a \tfrac{4}{3}. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas: como identificar a razão e aplicar o critério de convergência.

Passo 2

Simplificamos o termo geral da série:
(-8)^{n}\,4^{1-n} =4\;\frac{(-8)^{n}}{4^{n}} =4\;\Bigl(\frac{-8}{4}\Bigr)^{n} =4\,(-2)^{n}.

Passo 3

Portanto a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}4\,(-2)^{n} =4\sum_{n=0}^{\infty}(-2)^{n},
que é uma série geométrica de primeiro termo a=4 e razão r=-2.

Passo 4

O critério de convergência de uma série geométrica exige \lvert r\rvert<1. Aqui \lvert r\rvert=2>1, logo a série não converge e não possui soma finita.

Resposta

Falso. A série diverge, logo não pode ser igual a \tfrac{4}{3}.

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