Para as sequências abaixo, associe-as às funções correspondentes e use Regra de lHôpital para calcular seus respectivos limites.
lim n infty(1+xn)^n, x qualquer;

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência an=(1+tfracxn)^n quando ntoinfty. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência do tipo indeterminado 1^infty, e vamos precisar usar transformação logarítmica e a Regra de l’Hôpital.

Passo 2

Para lidar com o indeterminismo 1^infty, definimos L=limntoinftyan e tomamos logaritmo: ln an = nlnl(1+tfracxnr). Se conseguirmos limntoinftyln an, então L=expl(limln anr).

Passo 3

Reescrevemos nln(1+x/n) como razão para aplicar l’Hôpital:
limntoinftynlnl(1+xnr) = limntoinftyln(1+x/n)1/n
No limite acima, tanto o numerador quanto o denominador vão a zero quando ntoinfty, gerando indeterminação 0/0. Aplicamos a Regra de l’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a n, tratando n como variável real contínua.

Passo 4

Derivada do numerador:
ddnlnl(1+xnr) = 11+x/ncdotgl(-xn^2gr) = -xn^2l(1+x/nr)
Derivada do denominador:
ddnl(1/nr) = -1n^2

Passo 5

Pelo l’Hôpital:
limntoinftyln(1+x/n)1/n = limntoinfty-tfracxn^2(1+x/n)-tfrac1n^2 = limntoinftyx1+x/n = x
Assim limntoinftyln an = x, logo limntoinftyan = e^x.

Resposta

e^x

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