Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de
e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita. OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.
e
para
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
com
e o recurso
Aqui o conteúdo é resolução de recorrência linear não homogênea de segunda ordem e confirmação por indução finita. Vamos primeiro obter os sete primeiros termos e depois formular um palpite para
.
Passo 2
Calculamos
usando
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Logo os sete primeiros termos são
Passo 3
Observando os sinais alternados e os valores, percebemos que termos pares e ímpares seguem padrões diferentes. Para
:
pois
Para
:
porque
Passo 4
Confirmamos por indução que esta fórmula satisfaz a recorrência.
Base já conferidas.
Passo indutivo: suponha válidos para índices até e
; então
Base
Passo indutivo: suponha válidos para índices até
é exatamente o que nossa fórmula piecewise produz ao substituir
ou
. Isso fecha a indução.
Resposta
Os sete primeiros termos são
A expressão geral é