Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita. OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.
a_{0}=1, a_{1}=1 e (n+2) a_{n+2}+2 a_{n}=0 para n \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_n) com
a_{0}=1,\quad a_{1}=1,
e o recurso
(n+2)\,a_{n+2}+2\,a_{n}=0,\quad n\ge0.
Aqui o conteúdo é resolução de recorrência linear não homogênea de segunda ordem e confirmação por indução finita. Vamos primeiro obter os sete primeiros termos e depois formular um palpite para a_n.

Passo 2

Calculamos a_2,a_3,\dots,a_6 usando
a_{n+2}=-\frac{2}{n+2}\,a_{n}.
Para n=0:
a_{2}=-\frac{2}{2}\,a_{0}=-1.
Para n=1:
a_{3}=-\frac{2}{3}\,a_{1}=-\frac{2}{3}.
Para n=2:
a_{4}=-\frac{2}{4}\,a_{2}=-\frac{2}{4}\,(-1)=\frac12.
Para n=3:
a_{5}=-\frac{2}{5}\,a_{3}=-\frac{2}{5}\!\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)=\frac{4}{15}.
Para n=4:
a_{6}=-\frac{2}{6}\,a_{4}=-\frac{2}{6}\,\frac12=-\frac{1}{6}.
Logo os sete primeiros termos são
a_{0}=1,\quad a_{1}=1,\quad a_{2}=-1,\quad a_{3}=-\tfrac{2}{3},\quad a_{4}=\tfrac12,\quad a_{5}=\tfrac{4}{15},\quad a_{6}=-\tfrac{1}{6}.

Passo 3

Observando os sinais alternados e os valores, percebemos que termos pares e ímpares seguem padrões diferentes. Para n=2k:
a_{2k}=(-1)^{k}\,\frac{1}{k!},
pois
\prod_{j=0}^{k-1}\frac{-2}{2j+2} =\frac{(-2)^{k}}{2^{k}\,k!} =(-1)^{k}\frac{1}{k!}.
Para n=2k+1:
a_{2k+1} =\;(-1)^{k}\,\frac{4^{k}\,k!}{(2k+1)!},
porque
\prod_{j=0}^{k-1}\frac{-2}{2j+3} =\frac{(-2)^{k}}{(2k+1)!!} =(-1)^{k}\frac{2^{k} }{\frac{(2k+1)!}{2^{k}k!}} =(-1)^{k}\frac{4^{k}k!}{(2k+1)!}.

Passo 4

Confirmamos por indução que esta fórmula satisfaz a recorrência.
Base n=0,1 já conferidas.
Passo indutivo: suponha válidos para índices até n e n+1; então
a_{n+2} =-\frac{2}{n+2}\,a_{n}
é exatamente o que nossa fórmula piecewise produz ao substituir n=2k ou 2k+1. Isso fecha a indução.

Resposta

Os sete primeiros termos são
1,\;1,\;-1,\;-\tfrac{2}{3},\;\tfrac12,\;\tfrac{4}{15},\;-\tfrac{1}{6}.
A expressão geral é
\text{se }n=2k:\quad a_{2k}=(-1)^{k}\,\frac{1}{k!}, \qquad \text{se }n=2k+1:\quad a_{2k+1}=(-1)^{k}\,\frac{4^{k}\,k!}{(2k+1)!}.

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