Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de
e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
e
para
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O conteúdo principal é resolver recorrência envolvendo fatoriais, identificar padrão e depois confirmar por indução.
Passo 2
Calculemos os sete primeiros termos
:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Logo,
Passo 3
Observando os valores, para
temos
Esse é o nosso palpite para a expressão geral.
Passo 4
Prova por indução em
de que
.
Base
:
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
. Então, usando a recorrência para
,
Isso mostra que
, completando a indução.
Resposta
Para
vale
. Para
a expressão geral é