Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a_{0}=0 e (n+1) a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n!} para n \geq 0.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{0}=0,\qquad (n+1)\,a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n!}\quad\text{para }n\ge0.
O conteúdo principal é resolver recorrência envolvendo fatoriais, identificar padrão e depois confirmar por indução.

Passo 2

Calculemos os sete primeiros termos a_0,a_1,\dots,a_6:
Para n=0:
1\cdot a_{1}=a_{0}+\frac{1}{0!}=0+1\implies a_{1}=1.
Para n=1:
2\,a_{2}=a_{1}+\frac{1}{1!}=1+1\implies a_{2}=1.
Para n=2:
3\,a_{3}=a_{2}+\frac{1}{2!}=1+\tfrac12=\tfrac32\implies a_{3}=\tfrac12.
Para n=3:
4\,a_{4}=a_{3}+\frac{1}{3!}=\tfrac12+\tfrac16=\tfrac23\implies a_{4}=\tfrac{1}{6}.
Para n=4:
5\,a_{5}=a_{4}+\frac{1}{4!}=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{24}=\tfrac{5}{24}\implies a_{5}=\tfrac{1}{24}.
Para n=5:
6\,a_{6}=a_{5}+\frac{1}{5!}=\tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{120}=\tfrac{6}{120}\implies a_{6}=\tfrac{1}{120}.
Logo,
a_{0}=0,\;a_{1}=1,\;a_{2}=1,\;a_{3}=\tfrac12,\;a_{4}=\tfrac{1}{6},\;a_{5}=\tfrac{1}{24},\;a_{6}=\tfrac{1}{120}.

Passo 3

Observando os valores, para n\ge1 temos
a_{n}=\frac{1}{(n-1)!}.
Esse é o nosso palpite para a expressão geral.

Passo 4

Prova por indução em n\ge1 de que a_{n}=\tfrac{1}{(n-1)!}.
Base n=1:
a_{1}=1=\frac{1}{0!}.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha a_{k}=\tfrac{1}{(k-1)!}. Então, usando a recorrência para n=k,
a_{k+1} =\frac{a_{k}+\frac{1}{k!}}{k+1} =\frac{\frac{1}{(k-1)!}+\frac{1}{k!}}{k+1} =\frac{\frac{k+1}{k!}}{k+1} =\frac{1}{k!}.
Isso mostra que a_{k+1}=\tfrac{1}{k!}, completando a indução.

Resposta

Para n=0 vale a_{0}=0. Para n\ge1 a expressão geral é
a_{n}=\frac{1}{(n-1)!}.

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