4^{\mathrm{a}} Questão ( 10 pontos):
Encontre a solução da EDA:
2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
2y''+2y'+y=0
que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos usar o método da equação característica, assumindo uma solução da forma y=e^{rx}.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} na EDO, temos
y'=r e^{rx},\quad y''=r^2e^{rx},
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2r^2e^{rx}+2r e^{rx}+e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, dividimos por e^{rx} e obtemos a equação característica
2r^2+2r+1=0.

Passo 3

Resolvendo
r=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot2\cdot1}}{2\cdot2} =\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{4} =-\tfrac12\pm\tfrac{i}{2}.
Como as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=-\tfrac12 e \beta=\tfrac12, a solução geral é
y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr).

Resposta

y(x)=e^{-x/2}\bigl(C_1\cos(\tfrac{x}{2})+C_2\sin(\tfrac{x}{2})\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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