Questão EXTRA (10 pontos):
Encontre uma equação diferencial linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes, que tenha as funções
e
como soluções.
Encontre uma equação diferencial linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes, que tenha as funções
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, com coeficientes constantes, que tenha como soluções fundamentais as funções
e
.
Para resolver, vamos usar a relação entre as raízes do polinômio característico e as soluções da equação.
Para resolver, vamos usar a relação entre as raízes do polinômio característico e as soluções da equação.
Passo 2
Observamos que as soluções dadas são da forma
e
,
logo as raízes do polinômio característico são . Comparando, temos
e
.
logo as raízes do polinômio característico são
Passo 3
Construímos o polinômio característico cujas raízes são
. Tem-se:
Substituindo
e
, obtemos:
Ao expandir, fica:
Passo 4
A equação diferencial associada ao polinômio característico
é