Questão EXTRA (10 pontos):
Encontre uma equação diferencial linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes, que tenha as funções y_{1}(t)=e^{-t / 2} \cos (t / 2) e y_{2}(t)=e^{-t / 2} \operatorname{sen}(t / 2) como soluções.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, com coeficientes constantes, que tenha como soluções fundamentais as funções y_{1}(t)=e^{-t/2}\cos(t/2) e y_{2}(t)=e^{-t/2}\operatorname{sen}(t/2).
Para resolver, vamos usar a relação entre as raízes do polinômio característico e as soluções da equação.

Passo 2

Observamos que as soluções dadas são da forma e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t),
logo as raízes do polinômio característico são \alpha\pm i\beta. Comparando, temos \alpha=-\tfrac12 e \beta=\tfrac12.

Passo 3

Construímos o polinômio característico cujas raízes são \alpha\pm i\beta. Tem-se:
(r-(\alpha+i\beta))(r-(\alpha-i\beta))=0.
Substituindo \alpha=-\tfrac12 e \beta=\tfrac12, obtemos:
(r+1/2-i/2)(r+1/2+i/2)=0.
Ao expandir, fica:
r^{2}+r+\tfrac12=0.

Passo 4

A equação diferencial associada ao polinômio característico r^{2}+r+\tfrac12=0 é
y'' + y' + \tfrac12\,y = 0.

Resposta

y'' + y' + \tfrac12\,y = 0.

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