a) Suponha que
e que
. Mostre que se
então
.
b) É verdade que se
então
?
b) É verdade que se
Passo 1
O enunciado trata de duas sequências reais
e
tais que
e assume-se
para todo
. Precisamos usar a definição de limite de sequência e as propriedades de ordem dos números reais para mostrar que
. Na segunda parte, veremos se a desigualdade estrita se preserva no limite.
Passo 2
Para (a), fazemos prova por contradição. Suponha que, ao contrário,
Defina
Como
, existe
tal que, para todo
,
De modo análogo, como
, existe
tal que, para todo
,
Tomando
, para todo
temos
o que contradiz a hipótese
.
Passo 3
A contradição mostra que não é possível ter
. Logo
Quanto à parte (b), perguntamos se a hipótese
sempre força
. A resposta geral é não, pois podemos ter igualdade no limite.
Passo 4
Um contraexemplo simples é
Claramente
para todo
, mas
logo
, não
.
Resposta
a)
.
b) Não. Por exemplo, com e
temos
para todo
mas
.
b) Não. Por exemplo, com