Teste da razão e da raiz para convergência de sequências: Seja
para todo
.
c) Use o item a) para ver se é possível determinar quais das sequências abaixo convergem para 0? Quais vão para infinito?
4)
c) Use o item a) para ver se é possível determinar quais das sequências abaixo convergem para 0? Quais vão para infinito?
4)
Passo 1
A sequência dada é
com
. O conteúdo é teste da razão para sequências, e vamos precisar da definição que diz: se
, então
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
substituindo
por
:
$$
a_{n+1}=\frac{(n+2)(n+3)}{(n+1)!}
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+2)(n+3)}{(n+1)!}}{\frac{(n+1)(n+2)}{n!}}
=\frac{(n+2)(n+3),n!}{(n+1)!,(n+1)(n+2)}
=\frac{n+3}{(n+1)^2}.
=\frac{(n+2)(n+3),n!}{(n+1)!,(n+1)(n+2)}
=\frac{n+3}{(n+1)^2}.
$$
Passo 3
Em seguida, avaliamos o limite dessa razão:
Passo 4
Como o limite da razão é menor que 1, pelo teste da razão a sequência converge para zero.
Resposta
A sequência converge para 0.