Teste da razão e da raiz para convergência de sequências: Seja an>0 para todo n.
c) Use o item a) para ver se é possível determinar quais das sequências abaixo convergem para 0? Quais vão para infinito?
4) an=(n+1)(n+2)n!

Passo 1

A sequência dada é an=(n+1)(n+2)n! com an>0. O conteúdo é teste da razão para sequências, e vamos precisar da definição que diz: se L=limntoinfty an+1an<1, então anto0.

Passo 2

Primeiro, escrevemos an+1 substituindo n por n+1:
$$
a_{n+1}=\frac{(n+2)(n+3)}{(n+1)!} an+1=(n+2)(n+3)(n+1)!ã
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+2)(n+3)}{(n+1)!}}{\frac{(n+1)(n+2)}{n!}}
=\frac{(n+2)(n+3),n!}{(n+1)!,(n+1)(n+2)}
=\frac{n+3}{(n+1)^2}.
$$

Passo 3

Em seguida, avaliamos o limite dessa razão:
limntoinftyn+3(n+1)^2=0<1

Passo 4

Como o limite da razão é menor que 1, pelo teste da razão a sequência converge para zero.

Resposta

A sequência converge para 0.

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