Calcule:
integral tg^2(2 t) sec ^4(2 t) d t

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral tan^2(2t),sec^4(2t),dt. O conteúdo envolve técnicas de integração de funções trigonométricas usando substituição e a identidade sec^2(x)=1+tan^2(x).

Passo 2

Vamos fazer a substituição u=tan(2t). Derivando em relação a t temos:
du=2sec^2(2t),dt
Logo,
sec^2(2t),dt=du2

Passo 3

Reescrevemos a integral agrupando um sec^2(2t),dt:
integral tan^2(2t)sec^4(2t),dt =integral tan^2(2t)l(sec^2(2t)r)l(sec^2(2t),dtr)
Substituindo tan(2t)=u, sec^2(2t),dt=tfracdu2 e sec^2(2t)=1+tan^2(2t)=1+u^2, ficamos com
integral u^2(1+u^2)du2

Passo 4

Agora é só integrar em u:
12integrall(u^2+u^4r),du =12l(u^33+u^55r)+C =u^36+u^510+C

Passo 5

Retornando para t com u=tan(2t), a solução final fica
16tan^3(2t)+110tan^5(2t)+C

Resposta

16tan^3(2t)+110tan^5(2t)+C

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