Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
© an=(1 / 2)^n

Passo 1

Beleza, então a gente precisa descobrir se a sequência $ a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n $ converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos achar o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Cada termo da sequência é dado por $ \left(\frac{1}{2}\right)^n $. Isso significa que a gente está multiplicando $ \frac{1}{2} $ por si mesmo várias vezes conforme $ n $ aumenta.

Passo 3

Agora, para saber se a sequência converge, a gente observa o que acontece com os termos quando $ n $ vai para o infinito. No caso de sequências do tipo $ q^n $, se o valor absoluto de $ q $ for menor que 1, a sequência tende a zero. Isso é baseado na regra de convergência de sequências geométricas.

Passo 4

No nosso caso, $ q = \frac{1}{2} $. Como $ \left| \frac{1}{2} \right| = 0.5 $, que é menor que 1, a sequência $ a_n $ vai convergir.

Passo 5

Para encontrar o limite da sequência, aplicamos a regra mencionada:
limn to infty (12)^n = 0
Isso porque a cada termo, estamos multiplicando por um número menor que 1, fazendo com que os termos fiquem cada vez menores e se aproximem de zero.

Resposta

A sequência $ a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n $ converge e o seu limite é 0.

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