Quais das sequências
convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
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Passo 1
Beleza, então a gente precisa descobrir se a sequência $ a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n $ converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos achar o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Cada termo da sequência é dado por $ \left(\frac{1}{2}\right)^n $. Isso significa que a gente está multiplicando $ \frac{1}{2} $ por si mesmo várias vezes conforme $ n $ aumenta.
Passo 3
Agora, para saber se a sequência converge, a gente observa o que acontece com os termos quando $ n $ vai para o infinito. No caso de sequências do tipo $ q^n $, se o valor absoluto de $ q $ for menor que 1, a sequência tende a zero. Isso é baseado na regra de convergência de sequências geométricas.
Passo 4
No nosso caso, $ q = \frac{1}{2} $. Como $ \left| \frac{1}{2} \right| = 0.5 $, que é menor que 1, a sequência $ a_n $ vai convergir.
Passo 5
Para encontrar o limite da sequência, aplicamos a regra mencionada:
Isso porque a cada termo, estamos multiplicando por um número menor que 1, fazendo com que os termos fiquem cada vez menores e se aproximem de zero.
Resposta
A sequência $ a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n $ converge e o seu limite é 0.